Question

6．如圖所示，某貨場需將質(zhì)量為m₁=50kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）從高處運(yùn)送至地面，為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，現(xiàn)利用光滑傾斜軌道SP，豎直面內(nèi)弧形光滑軌道PQ，使貨物由傾斜軌道頂端距底端高度h=4m處無初速度滑下，兩軌道相切于P，傾斜軌道與水平面夾角為θ=60°，弧形軌道半徑R=2m，末端切線水平．地面上緊靠軌道依次排放兩塊木板A、B，質(zhì)量均為m₂=50kg，長度均為L=7m，木板上表面與軌道末端Q相切，貨物與木板間的動摩擦因數(shù)為μ₁，木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.1．（不考慮貨物與各軌道相接處能量損失、最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求貨物到達(dá)圓軌道末端Q點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力．
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動，求μ₁應(yīng)滿足的條件．
（3）若μ₁=0.50，求貨物從滑上木板A到貨物與木板B到達(dá)共同速度的過程中整個(gè)系統(tǒng)摩擦產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）物體下滑的過程中，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒可以得出到達(dá)底端時(shí)的速度，再由向心力的公式可以求得物體受到的支持力的大小，根據(jù)牛頓第三定律可以得到貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對軌道的壓力大�。�
（2）貨物滑上木板A時(shí)，木板不動，說明此時(shí)貨物對木板的摩擦力小于地面對木板的摩擦力的大小，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動，說明此時(shí)貨物對木板的摩擦力大于了地面對貨物的摩擦力的大小，由此可以判斷摩擦因數(shù)的范圍．
（3）當(dāng)μ₁=0.50時(shí)，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動時(shí)，木板做加速運(yùn)動，貨物做的是勻減速直線運(yùn)動，由勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律可以求得到達(dá)B的速度；貨物在B上運(yùn)動的過程中，貨物繼續(xù)減速，而B繼續(xù)加速，由運(yùn)動學(xué)的公式即可求出A相當(dāng)于B靜止時(shí)的速度，最后由功能關(guān)系即可求出產(chǎn)生的熱量．

解答 解析：（1）設(shè)貨物滑到圓軌道末端時(shí)的速度為v₀，對貨物的下滑過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
m₁g（h+R-Rcos60°）=$\frac{1}{2}$m₁v₀²…①
設(shè)貨物在軌道末端所受支持力的大小為F_N，根據(jù)牛頓第二定律得：
F_N-m₁g=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$  …②
聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)得：v₀=10m/s
F_N=3000 N
根據(jù)牛頓第三定律，貨物對軌道的壓力大小為3000 N，方向豎直向下．
（2）若滑上木板A時(shí)，木板不動，由受力分析得：
μ₁m₁g≤μ₂（m₁+2m₂）g…③
若滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動，由受力分析得：
μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂）g…④
聯(lián)立④⑤式，代入數(shù)據(jù)得：0.2＜μ₁≤0.3．
（3）當(dāng)μ₁=0.50時(shí)，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動時(shí)，木板做加速運(yùn)動．設(shè)貨物在木板A上做減速運(yùn)動時(shí)的加速度大小為a₁，
由牛頓第二定律得：μ₁m₁g=m₁a₁ …⑤
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{1}=5m/{s}^{2}$ 
兩個(gè)木板在水平方向上的加速度a₂：2m₂a₂=μ₁m₁g-μ₂（m₁+2m₂）g    …⑥
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{2}=1m/{s}^{2}$
當(dāng)貨物滑到木板A末端時(shí)：$（{v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}）-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=L$…⑦
代入數(shù)據(jù)得：t=1s
貨物的速度為v₁，由運(yùn)動學(xué)公式得：v₁=v₀-a₁t=10-5×1=5m/s
木板的速度：v₂=a₂t=1×1=1m/s
滑上木板B時(shí)，貨物繼續(xù)減速，加速度不變；木板B繼續(xù)加速，
木板B做勻加速運(yùn)動的加速度：a₃=$\frac{{μ}_{1}mg{-μ}_{2}（{{m}_{1}+m}_{2}）g}{{m}_{2}}$=3m/s²．
貨物與B速度相等時(shí)，v₁-a₁t′=v₂+a₃t′⑧
得：t′=0.5s
它們的速度：v=v₁-a₁t′=5-5×0.5=2.5m/s
貨物在B上滑動的過程中A在水平地面上做減速運(yùn)動，加速度大小：
${a}_{4}=\frac{{μ}_{2}{m}_{2}g}{{m}_{2}}={μ}_{2}g=0.1×10=1m/{s}^{2}$
經(jīng)過0.5s后A的速度：v₃=v₂-a₄t′=1-1×0.5=0.5m/s
由功能關(guān)系可知，貨物從滑上木板A到貨物與木板B到達(dá)共同速度的過程中整個(gè)系統(tǒng)摩擦產(chǎn)生的熱量等于系統(tǒng)損失的動能，即：
Q=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{3}^{2}$   ⑨
代入數(shù)據(jù)得：Q=2181.25J
答：（1）貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對軌道的壓力是3000N；
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動，μ₁應(yīng)滿足的條件是0.2＜μ₁≤0.3；
（3）若μ₁=0.5，貨物從滑上木板A到貨物與木板B到達(dá)共同速度的過程中整個(gè)系統(tǒng)摩擦產(chǎn)生的熱量是2181.25J．

點(diǎn)評 本題考查了機(jī)械能守恒、圓周運(yùn)動和牛頓運(yùn)動定律的應(yīng)用，特別需要注意的是貨物在水平面上運(yùn)動時(shí)木板的運(yùn)動狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運(yùn)到到不同的地方時(shí)木板的受力不一樣．