Question

6．如圖所示，V形轉(zhuǎn)盤可繞豎直中心軸OO'轉(zhuǎn)動(dòng)，V形轉(zhuǎn)盤的側(cè)面與豎直轉(zhuǎn)軸間的夾角均為α=53°．盤上放著質(zhì)量為1kg的物塊A，物塊A用長(zhǎng)為1m的細(xì)線系于轉(zhuǎn)盤中心的O處，細(xì)線能承受的最大拉力為8N，A與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.5，且可認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，在物塊A與轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，細(xì)線始終處于伸直狀態(tài)．
（1）當(dāng)物塊A隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其所受的摩擦力為零時(shí)，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度多大（結(jié)果可以保留根式）；
（2）為保證細(xì)線一直處于伸直狀態(tài)，物塊A跟隨轉(zhuǎn)盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的范圍（g取10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)物塊A隨轉(zhuǎn)盤做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)所受的摩擦力為零時(shí)，此時(shí)繩處于松弛狀態(tài)，由支持力和重力的合力提供向心力，豎直方向由平衡條件列式，水平方向根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（2）當(dāng)物塊A所受摩擦力沿斜面向上，且等于最大靜摩擦力時(shí)，物塊轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度最�。�當(dāng)物塊A所受摩擦力沿斜面向下，且等于最大靜摩擦力，繩子拉力達(dá)到最大值時(shí)，物塊轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度最大．豎直方向由平衡條件列式，水平方向根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解角速度的最小值和最大值，即可得到角速度的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)摩擦力為零時(shí)，物塊只受重力和支持力，由題意，由牛頓第二定律可得：
${F_N}cos{37^o}=mg$…①
${F_N}sin{37^o}=m{ω^2}r$…②
又 r=lcos37°…③
所以：$ω=\frac{{5\sqrt{6}}}{4}rad/s$
（2）當(dāng)物塊A所受摩擦力沿斜面向上，且等于最大靜摩擦力時(shí)，物塊轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度最小
由受力分析可得：
  ${F_N}sin{37^o}-fcos{37^o}=mω_1^2r$…④
  ${F_N}cos{37^o}+fsin{37^o}=mg$…⑤
又 f=μF_N …⑥
聯(lián)立③④⑤⑥可得：${ω_1}=\sqrt{\frac{g}{{lcos{{37}^o}}}•\frac{{sin{{37}^o}-μcos{{37}^o}}}{{cos{{37}^o}+μsin{{37}^o}}}}=\frac{{5\sqrt{11}}}{11}$rad/s
當(dāng)物塊A所受摩擦力沿斜面向下，且等于最大靜摩擦力，繩子拉力達(dá)到最大值時(shí)，物塊轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度最大
由受力分析可知：
  ${F_N}sin{37^o}+fcos{37^o}+Tcos{37^o}=mω_2^2r$…⑦
  ${F_N}cos{37^o}=mg+fsin{37^o}+Tsin{37^o}$…⑧
聯(lián)立③⑥⑦⑧可得：${ω_2}=\sqrt{\frac{{mg+Tsin{{37}^o}}}{{mlcos{{37}^o}}}•\frac{{sin{{37}^o}+μcos{{37}^o}}}{{cos{{37}^o}-μsin{{37}^o}}}+\frac{T}{ml}}=3\sqrt{5}$rad/s
所以：$\frac{5\sqrt{11}}{11}$ rad/s≤ω≤$3\sqrt{5}$ rad/s
答：（1）轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是$\frac{5\sqrt{6}}{4}$rad/s．
（2）物塊A跟隨轉(zhuǎn)盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的范圍為：$\frac{5\sqrt{11}}{11}$ rad/s≤ω≤$3\sqrt{5}$ rad/s．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是能對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，根據(jù)豎直方向由平衡條件列式及水平方向牛頓第二定律列式，并能根據(jù)最大靜摩擦力的表達(dá)式分析．