Question

2．設(shè)想在地球赤道平面內(nèi)有一垂直于地面延伸到太空的輕質(zhì)電梯，電梯頂端可超過(guò)地球的同步衛(wèi)星高度R（從地心算起）延伸到太空深處．這種所謂的太空電梯可用于低成本地發(fā)射繞地人造衛(wèi)星．其發(fā)射方法是將衛(wèi)星通過(guò)太空電梯勻速提升到某高度，然后啟動(dòng)推進(jìn)裝置將衛(wèi)星從太空電梯發(fā)射出去．設(shè)在某次發(fā)射時(shí)，衛(wèi)星在太空電梯中極其緩慢地勻速上升，該衛(wèi)星在上升到0.80R處意外和太空電梯脫離（脫離時(shí)衛(wèi)星相對(duì)與太空電梯上脫離處的速度可視為零）而進(jìn)入太空，設(shè)地球半徑為r，地球表面重力加速度為g（　　）

• A． 利用萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，此衛(wèi)星可以繞地球做半徑為0.8R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)
• B． 此衛(wèi)星脫離太空電梯的最初一段時(shí)間內(nèi)將做逐漸靠近地心的曲線運(yùn)動(dòng)
• C． 此衛(wèi)星脫離太空電梯的最初一段時(shí)間內(nèi)可能做離心運(yùn)動(dòng)
• D． 欲使衛(wèi)星脫離太空電梯后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，需要在釋放的時(shí)候沿原速度方向讓它加速到$\sqrt{\frac{5g{r}^{2}}{4R}}$

Answer 1

分析 物體在電梯中具有與與地球自轉(zhuǎn)相同的角速度；同步衛(wèi)星的高度為R，在R高度，衛(wèi)星的萬(wàn)有引力等于向心力；結(jié)合萬(wàn)有引力定律和向心力公式分析在0.8R高度的萬(wàn)有引力與向心力的關(guān)系判斷衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)情況即可．

解答 解：ABC、在同步軌道，有：$G\frac{Mm}{R^2}=m{ω^2}R$
在電梯中，物體的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，萬(wàn)有引力為$G\frac{Mm}{{{{（0.8R）}^2}}}$，做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力為mω²（0.8R）；
由于$G\frac{Mm}{{{{（0.8R）}^2}}}＞G\frac{Mm}{R^2}=m{ω^2}R＞m{ω^2}（0.8R）$，故離開(kāi)電梯瞬間，萬(wàn)有引力大于需要的向心力，此后會(huì)做向心運(yùn)動(dòng)，故AC錯(cuò)誤，B正確；
D、欲使衛(wèi)星脫離太空電梯后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，需要增加速度，使得萬(wàn)有引力等于向心力，故：$G\frac{Mm}{（0.8R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{0.8R}$
故：v=$\sqrt{\frac{5GM}{4R}}$=$\sqrt{\frac{5g{r}^{2}}{4R}}$
故D正確；
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)、離心運(yùn)動(dòng)、向心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)條件，當(dāng)引力大于需要的向心力時(shí)做向心運(yùn)動(dòng)，當(dāng)引力小于需要的向心力時(shí)做離心運(yùn)動(dòng)，基礎(chǔ)題目．