Question

20．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱(chēng)軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°．重力加速度大小為g．
（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω₀；
（2）若ω=（1±k）ω₀，且0＜k≤1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）當(dāng)ω＞ω₀，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�當(dāng)ω＜ω₀，重力和支持力的合力大于向心力，則摩擦力的方向沿罐壁切線向上，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�

解答 解：（1）小物塊在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小物塊受到的摩擦力恰好等于零時(shí)，小物塊所受的重力和陶罐的支持力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有
  mgtanθ=mω${\;}_{0}^{2}$•Rsinθ
解得ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）當(dāng)ω=（1+k）ω₀時(shí)，小物塊受到的摩擦力沿陶罐壁切線向下，設(shè)摩擦力的大小為f，陶罐壁對(duì)小物塊的支持力為F_N，沿水平和豎直方向建立坐標(biāo)系，則：
水平方向：F_Nsinθ+fcosθ=mω²•Rsinθ
豎直方向：F_Ncosθ-fsinθ-mg=0
代入數(shù)據(jù)解得：f=$\frac{\sqrt{3}k（2+k）}{2}$mg
同理，當(dāng)ω=（1-k）ω₀時(shí)，小物塊受到的摩擦力沿陶罐壁切線向上，則：
水平方向：F_Nsinθ-fcosθ=mω²•Rsinθ
豎直方向：F_Ncosθ+fsinθ-mg=0
代入數(shù)據(jù)解得：f=$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}$mg．
答：
（1）ω₀為$\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）當(dāng)ω=（1+k）ω₀時(shí)，摩擦力方向沿罐壁切線向下，大小為$\frac{\sqrt{3}k（2+k）}{2}$mg．當(dāng)ω=（1-k）ω₀時(shí)，摩擦力方向沿罐壁切線向上，大小為$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}$mg．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解．