Question

3．如圖所示，堅(jiān)直平面內(nèi)的$\frac{3}{4}$圓弧形光滑軌道半徑為R=1.6m，A端與圓心0等高，B端 在O的正上方，與A右側(cè)相連的是高和寬都為L(zhǎng)=0.3m的臺(tái)階，臺(tái)階有若干級(jí)，一個(gè)質(zhì)量為 m=0.3kg的小球從A點(diǎn)正上方h處，由靜止釋放，自由下落至A點(diǎn)后進(jìn)入圓形軌道，不計(jì)小球進(jìn)入軌道時(shí)的能量損失，不計(jì)空氣阻力，小球恰能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)B，求：
（1）釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度；
（2）若釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度H=3R，則小球在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是多大？小球會(huì)落在第幾級(jí)臺(tái)階上？設(shè)g=10m/s²．

Answer 1

分析 （1）小球恰能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)B，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過(guò)B點(diǎn)的速度．對(duì)小球從剛釋放到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理求釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度．
（2）對(duì)小球從剛釋放到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理求出小球通過(guò)B點(diǎn)的速度．在B點(diǎn)，由牛頓定律求小球在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系分析小球會(huì)落在第幾級(jí)臺(tái)階上．

解答 解：（1）對(duì)小球從剛釋放到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理：
   mg（h-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
對(duì)小球在B點(diǎn)，由牛頓第二定律：
  mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 v₁=4m/s，h=2.4m
（2）對(duì)小球從剛釋放到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理：
    mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
對(duì)小球在B點(diǎn)由牛頓第二定律：
   F_N+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得 v₂=8m/s，F(xiàn)_N=9N
由牛頓第三定律可知，小球在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小是9N．
連接B、A兩點(diǎn)并延長(zhǎng)，得一傾角為θ的斜面，小球從B點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)過(guò)時(shí)間t落到斜面上，水平位移為x，豎直位移為y，落到斜面上時(shí)豎直分速度為v_y，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得：
   x=v₂t
   y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由幾何關(guān)系有 y=xtanθ
  nL=x-R
聯(lián)立解得 t=1.6s，x=12.8m，n=37.3
所以小球打在第38級(jí)臺(tái)階上．      
答：
（1）釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度是2.4m；
（2）若釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度H=3R，則小球在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是9N，小球會(huì)落在第38級(jí)臺(tái)階上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)與動(dòng)能定理的基本運(yùn)用，要知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，明確圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源：指向圓心的合力，這是解決本題的關(guān)鍵．