Question

10．如圖所示的“s”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個(gè)半徑相等的半圓對(duì)接而成，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動(dòng)．彈射裝置將一個(gè)小球（小球的直徑略小于細(xì)圓管內(nèi)徑）從a點(diǎn)沿水平地面向b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過軌道后從最高點(diǎn)d水平拋出．已知小球與地面ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，ab段長L，圓的半徑R，小球質(zhì)量m，求：
（1）若小球經(jīng)d處時(shí)，對(duì)軌道上臂有壓力，則它經(jīng)過b處時(shí)的速度滿足什么條件？
（2）為使小球離開軌道d處后，不會(huì)再碰到軌道，則小球離開d出時(shí)的速度至少為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律，即可求解；
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律處理的方法，運(yùn)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合，借助于幾何關(guān)系，即可求解；根據(jù)動(dòng)能定理，與牛頓第二定律，結(jié)合向心力表達(dá)式，即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律，小球經(jīng)d點(diǎn)時(shí)
F_d+mg=m$\frac{{v}_lkpnwdr^{2}}{R}$
F_d＞0
即v_d$＞\sqrt{gR}$
小球從b到d，由機(jī)械能守恒定律
$\frac{1}{2}$mv_d²+4mgR=$\frac{1}{2}$mv_b²
解得v_b$＞3\sqrt{gR}$
（2）假設(shè)恰好落到豎直位移3R處，則該點(diǎn)的速度方向豎直向下，這不符合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．設(shè)小球離開d出時(shí)的速度為v_d時(shí)，在運(yùn)動(dòng)過程中與軌道恰好相碰，即小球的運(yùn)動(dòng)軌跡與圓相切．以d點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得
x=v_at               
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$                        ②
由①②兩式得y=$\frac{g}{2{v}_i1o9jr0^{2}}{x}^{2}$          ③
由解析幾何知識(shí)得x²+（y-3R）²=R² ④
聯(lián)立③④兩式得y²+（$\frac{2{v}_ouunkrg^{2}}{g}$-6R）y+8R²=0    ⑤
要使的拋物線與圓相切，則方程⑤的△判別式為零，即
△=（$\frac{2{v}_0q0g20a^{2}}{g}$-6R）²-32R²=0
解得：v_d=$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$
故小球離開軌道d處后，不再碰到軌道，小球離開d出時(shí)的速度至少為$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$
答：（1）若小球經(jīng)d處時(shí)，對(duì)軌道上臂有壓力，則它經(jīng)過b處時(shí)的速度滿足v_b$＞3\sqrt{gR}$
（2）為使小球離開軌道d處后，不會(huì)再碰到軌道，則小球離開d出時(shí)的速度至少為$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式等規(guī)律的應(yīng)用，知道向心力的表達(dá)式，同時(shí)注意受力分析的研究對(duì)象確定，本題同時(shí)還要注意數(shù)學(xué)規(guī)律的基本應(yīng)用．