Question

9．在一個(gè)動(dòng)物表演的娛樂(lè)節(jié)目中，小貓從平臺(tái)上B點(diǎn)水平跳出，抓住豎直固定的車輪的邊緣P點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)松手，使可落到浮于水面的小橡皮船D上，如圖所示，已知車輪半徑R=$\frac{4}{3}$m，B與車輪轉(zhuǎn)軸O等高，OP與水平方向成θ=37°角，小貓抓住P點(diǎn)時(shí)速度方向恰好垂直于OP，小貓可看作質(zhì)點(diǎn)，重力加速度取g=10m/s²，求：
（1）小貓從B跳出時(shí)的速度v₀及BO間水平距離x₁；
（2）若小貓質(zhì)量為m=1kg，h=（$\frac{4}{3}$+0.45）m，小貓與車輪作用時(shí)小貓損失的機(jī)械能為5.3J，系統(tǒng)損失的機(jī)械能為2.3J，求x₂及車輪獲得的機(jī)械能．

Answer 1

分析 （1）小貓從B跳出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)下落的高度，求出落到P點(diǎn)時(shí)的豎直分速度，結(jié)合此時(shí)速度方向與OP垂直，求出從B跳出時(shí)的速度v₀．由豎直分速度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離，由幾何關(guān)系求出BO間水平距離x₁．
（2）根據(jù)能量守恒定律求出車輪獲得的機(jī)械能．小貓離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求x₂．

解答 解：（1）小貓從B跳出后做平拋運(yùn)動(dòng)，B與車輪轉(zhuǎn)軸O等高，由幾何關(guān)系得小貓下落的豎直位移
  y=Rsin37°=0.80m
小貓做平拋運(yùn)動(dòng)，因此
 x=v₀t
 y=$\frac{1}{2}$gt²；
由小貓到達(dá)P點(diǎn)時(shí)速度方向可知
 cotθ=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=2×$\frac{y}{x}$
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得：
v₀=3m/s，x=1.2m
BO間的水平距離為：
x₁=x+Rcos37°
得：x₁=2.27m
（2）從P到C，對(duì)小貓，由能量守恒得：
△E=$\frac{1}{2}$mv_P²+mgR（1-sinθ）-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
又 v_P=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$
設(shè)車輪獲得的機(jī)械能為E_k，對(duì)系統(tǒng)，有△E′=△E-E_k；
從C到D，小貓做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
x₂=v_Ct′
h-R=$\frac{1}{2}$gt′²；
聯(lián)立以上各式代入數(shù)據(jù)解得：
x₂=1.5m，E_k=3J
答：（1）小貓從B跳出時(shí)的速度v₀是3m/s，BO間水平距離x₁是2.27m．
（2）x₂是1.5m，車輪獲得的機(jī)械能是3J．

點(diǎn)評(píng) 本題是以實(shí)際背景命題，實(shí)際考查平拋運(yùn)動(dòng)和能量守恒定律的應(yīng)用，平拋運(yùn)動(dòng)要掌握運(yùn)動(dòng)的分解方法以及分位移、分速度公式．本題關(guān)鍵要正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化的．