Question

8．質(zhì)譜分析技術(shù)已廣泛應(yīng)用于各前沿科學(xué)領(lǐng)域，如圖所示是湯姆孫發(fā)現(xiàn)電子的質(zhì)譜裝置示意圖，M、N為兩塊水平放置的平行金屬極板，板長為L，板右端到屏的距離為D，O′O為垂直于屏的中心軸線，以屏中心O為原點(diǎn)建立xOy直角坐標(biāo)系，其中x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．（帶電粒子重力不計(jì)）
（1）設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m₀、電荷量為q₀的正離子以速度v₀（v₀很大，D遠(yuǎn)大于L，不計(jì)帶電粒子在板間運(yùn)動(dòng)時(shí)偏離O′O的距離）沿O′O的方向從O′點(diǎn)射入，板間不加電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)，離子打在屏上O點(diǎn)．
①若在兩極板間加一個(gè)沿+y 方向場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，求離子射到屏上時(shí)偏離O點(diǎn)的距離y₁；
②若在兩極板間加一沿+x方向磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求離子射到屏上時(shí)偏離O點(diǎn)的距離y₂；（在板間運(yùn)動(dòng)時(shí)O′O方向的分速度總是遠(yuǎn)大于x方向和y方向的分速度；當(dāng)θ很小時(shí)，tanθ=sinθ，cosθ=1）
（2）在上述裝置中，保留第（1）問中的電場(chǎng)，再在板間加沿-y方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)有電荷量相同的兩種正離子組成的離子流，仍從O′點(diǎn)沿O′O方向射入（入射速度各有不同，但都很大，且在板間運(yùn)動(dòng)時(shí)O′O方向的分速度總是遠(yuǎn)大于x方向和y方向的分速度），屏上出現(xiàn)兩條亮線．在兩線上取y坐標(biāo)相同的兩個(gè)光點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的x坐標(biāo)分別為4.32mm和4.00mm，其中x 坐標(biāo)大的光點(diǎn)是碳12離子擊中屏產(chǎn)生的，另一光點(diǎn)是未知離子產(chǎn)生．試依照以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算未知離子的質(zhì)量數(shù)（取兩位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 帶電離子在+y方向電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，出電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)． 由于不計(jì)離子在電場(chǎng)中偏離的距離，則利用離子在oo′方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，可求離子在電場(chǎng)中的時(shí)間，從而確定離子出電場(chǎng)y方向的速度．由極板右端到屏的距離D可求出離子射到屏上偏離O點(diǎn)的距離．離子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力本不做功，但題目條件的限制，由于洛倫茲力作用使離子在x方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．所以利用運(yùn)動(dòng)的分解可將運(yùn)動(dòng)分解成x、y方向，再結(jié)合題中的已知量可求出結(jié)果．

解答 解：（1）離子在電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力   F_y=q₀E…①
離子獲得的加速度                  a_y=$\frac{{F}_{y}}{{m}_{0}}$…②
離子在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間                 t₀=$\frac{L}{{v}_{0}}$…③
到達(dá)極板右邊緣時(shí)，離子在+y方向的分速度  v_y=a_yt₀…④
離子從板右端到達(dá)屏上所需時(shí)間  t′₀=$\frac{D}{{v}_{0}}$…⑤
離子射到屏上時(shí)偏離O點(diǎn)的距離 y₁=$\frac{1}{2}$a_y ${t}_{0}^{2}$+v_yt'₀
由上述各式，得   y₁=$\frac{{q}_{0}EL（L+2D）}{2m{v}_{0}^{2}}$…⑥
設(shè)離子電荷量為q，質(zhì)量為m，入射時(shí)速度為v，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)對(duì)離子的洛倫茲力F_x=qvB…⑦
已知離子的入射速度都很大，因而粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間甚短．
所經(jīng)過的圓弧與圓周相比甚小，且在板中運(yùn)動(dòng)時(shí)，OO'分速度總是遠(yuǎn)大于在x方向和y方向的分速度，洛倫茲力變化甚微，故可作恒力處理，洛倫茲力產(chǎn)生的加速度a_x=$\frac{qvB}{m}$…⑧
a_x是離子在x方向的加速度，離子在x方向的運(yùn)動(dòng)可視為初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)極板右端時(shí)，離子在x方向的分速度v_x=a_xt=$\frac{qvB}{m}$（$\frac{L}{v}$）=$\frac{qBL}{m}$…⑨
離子飛出極板到達(dá)屏?xí)r，在x方向上偏離O點(diǎn)的距離x=v_xt′=$\frac{qBL}{m}$（$\frac{D}{v}$）=$\frac{qBLD}{mv}$…⑩
當(dāng)離子的初速度為任意值時(shí)，離子到達(dá)屏上時(shí)的位置在y方向上偏離O點(diǎn)的距離為y，
考慮到⑥式，得y₂=$\frac{qELD}{m{v}^{2}}$…（11）
（2）由⑩、（11）兩式得x₂=$\frac{k}{m}$y…（12）
其中k=$\frac{q{B}^{2}LD}{E}$上式表明，k是與離子進(jìn)入板間初速度無關(guān)的定值，對(duì)兩種離子均相同．
由題設(shè)條件知，x坐標(biāo)4.32mm的光點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是碳12離子，其質(zhì)量為m₁=12u，
x坐標(biāo)4.00mm的光點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是未知離子．
設(shè)其質(zhì)量為m₂，由（12）式代入數(shù)據(jù)可得m₂≈14u…（13）
故該未知離子的質(zhì)量數(shù)為14；
答：（1）①若在兩極板間加一個(gè)沿+y 方向場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，求離子射到屏上時(shí)偏離O點(diǎn)的距離$\frac{{q}_{0}EL（L+2D）}{2m{v}_{0}^{2}}$；
②若在兩極板間加一沿+x方向磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求離子射到屏上時(shí)偏離O點(diǎn)的距離$\frac{qELD}{m{v}^{2}}$；
（2）未知離子的質(zhì)量數(shù)14．

點(diǎn)評(píng) 考查帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，但磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了洛倫茲力做功的情況．同時(shí)還體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)的合成與分解．