Question

3．如圖所示，極地衛(wèi)星的運行軌道平面通過地球的南北兩極（軌道可視為圓軌道、地球看作球體）．若已知一個極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方，按圖示方向第一次運行至赤道正上方時所用的時間為0.25h（緯度是指某點與地球球心的連線和地球赤道面所成的線面角）．求：
（1）該極地衛(wèi)星運行的周期；
（2）同步衛(wèi)星的線速度v₁和極地衛(wèi)星的線速度v₂之比．

Answer 1

分析 根據(jù)極地衛(wèi)星的運動軌跡，判斷極地衛(wèi)星的周期，衛(wèi)星運動的向心力由地球對衛(wèi)星的萬有引力提供，解出衛(wèi)星的周期與軌道半徑的關系和線速度與軌道板機的關系，據(jù)此進行解答

解答 解：（1）從北緯30°的正上方按圖示方向第一次運行至赤道正上方轉過的圓心角為θ=$\frac{π}{6}$，用時0.25h，故該極地衛(wèi)星的周期為：
T₂=0.25×$\frac{2π}{\frac{π}{6}}$=3h．
（2）同步衛(wèi)星的周期為T₁=24h，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
可得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$
由開普勒定律知：$\frac{{T}_{1}^{3}}{{T}_{2}^{3}}=\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}$=64
故有：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{4}{1}$
解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{2}{1}$
答：（1）該極地衛(wèi)星運行的周期為3h
（2）同步衛(wèi)星的線速度v₁和極地衛(wèi)星的線速度v₂之比為2：1

點評 衛(wèi)星的線速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$．靈活運運用萬有引力提供圓周運動的向心力，要能夠熟練的解出軌道半徑與周期和線速度的關系是解決本題的關鍵