Question

7．如圖所示，質(zhì)量為M的圓環(huán)，用一根細(xì)線懸掛著．另有兩個質(zhì)量均為m的帶孔小球可穿在環(huán)上做無摩擦的滑動，當(dāng)兩球由圓環(huán)頂部放開，并沿相反方向滑下時，小球與圓心連線與豎直方向的夾角為θ．
（1）在圓環(huán)不動的條件下，求懸線中的張力T隨θ的變化規(guī)律
（2）小球與圓環(huán)的質(zhì)量比$\frac{m}{M}$至少為多大時圓環(huán)才有可能上升？

Answer 1

分析 （1）對其中任一小珠研究，根據(jù)機(jī)械能守恒求得速度與θ的關(guān)系式，小珠做圓周運(yùn)動，指向圓心的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小珠所受的圓環(huán)的彈力，再根據(jù)牛頓第三定律得到小珠對圓環(huán)的彈力，圓環(huán)處于靜止?fàn)顟B(tài)，由平衡條件求出T與θ的關(guān)系式；
（2）當(dāng)圓環(huán)所受的合力向上時，有可能上升，根據(jù)上問的結(jié)果進(jìn)行討論．

解答 解：（1）設(shè)小珠和大環(huán)圓心連線與豎直方向的夾角為θ時小珠的速度大小為v．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv²=mgR（1-cosθ）
設(shè)圓環(huán)對小珠的彈力大小為N，由牛頓第二定律得：
mgcosθ-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
對于圓環(huán)，合力為零，則有：T=Mg+2Ncosθ
聯(lián)立以上三式得：Ncosθ=6mgcos²θ-4mgcosθ，T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ 
（2）由上知，T_min=Mg-$\frac{2}{3}$mg，說明此時小珠對圓環(huán)的作用力的合力方向向上，大小為：N′=$\frac{2}{3}$mg
當(dāng)N′＞Mg時，圓環(huán)將會上升，則有：T_min=Mg-$\frac{2}{3}$mg＜0
解得：$\frac{m}{M}$＞$\frac{3}{2}$
答：（1）在圓環(huán)不動的條件下，懸線中的張力T隨cosθ變化的函數(shù)關(guān)系是T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ；
（2）小珠與圓環(huán)的質(zhì)量比至少為$\frac{3}{2}$時圓環(huán)才有可能上升．

點(diǎn)評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律、共點(diǎn)力平衡的綜合運(yùn)用，知道小圓環(huán)徑向的合力提供向心力，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用機(jī)械能守恒、圓周運(yùn)動、力平衡條件結(jié)合推導(dǎo)出T的表達(dá)式．