Question

7．若已知萬(wàn)有引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間T₁（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時(shí)間T₂（地球公轉(zhuǎn)周期），地球中心到月球中心的距離L₁，地球中心到太陽(yáng)中心的距離L₂，求：
（1）地球的質(zhì)量M_地；
（2）太陽(yáng)的質(zhì)量M_太；
（3）地球的密度ρ．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出地球的質(zhì)量，根據(jù)地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，靠萬(wàn)有引力提供向心力，求出太陽(yáng)的質(zhì)量，根據(jù)密度公式求ρ

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得地球質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有$G\frac{M′m}{{L}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{L}_{2}^{\;}$
解得太陽(yáng)質(zhì)量$M′=\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$
（3）根據(jù)密度公式$ρ=\frac{m}{V}$且$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
將地球質(zhì)量$ρ=\frac{3g}{4πGR}$
答：（1）地球的質(zhì)量${m}_{地}^{\;}$為$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（2）太陽(yáng)的質(zhì)量${M}_{太}^{\;}$為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$；
（3）地球的密度ρ為$\frac{3g}{4πGR}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力，以及萬(wàn)有引力提供向心力這兩大理論，并能熟練運(yùn)用．