Question

7．豎直圓筒內(nèi)壁光滑，半徑為R，頂部有入口A，在A的正下方h處有出口B，一質(zhì)量為m的小球從入口A沿圓筒內(nèi)壁切線方向水平射入圓筒內(nèi)，要使球從B處飛出，不計空氣阻力，則：
（1）小球進入入口A處的速度v₀應(yīng)滿足什么條件？
（2）在運動過程中，球?qū)ν驳膲毫Χ啻螅?

Answer 1

分析 （1）將小球的運動分解為水平方向和豎直方向，在水平方向上做勻速圓周運動，在豎直方向上做自由落體運動，抓住等時性以及圓周運動的周期性進行求解．
（2）小球?qū)ν驳膲毫Φ拇笮〉扔谛∏蜃鰣A周運動時所需要的向心力F_n，結(jié)合牛頓第二定律即可求出．

解答 解：（1）射進圓筒的小球受重力影響，做自由落體運動，如從上落到下需要時間t，
則$h=\frac{1}{2}g{t^2}$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
水平射入的小球繞筒壁做勻速圓周運動，每圈需要時間$T=\frac{2πR}{v_0}$
假如小球繞筒壁旋轉(zhuǎn)n圈到底，那么t=nT （n=1，2，3，…）
得：${v_0}=\frac{{nπR\sqrt{2gh}}}{h}$（n=1，2，3，…） 
（2）小球?qū)ν驳膲毫Φ拇笮〉扔谛∏蜃鰣A周運動時所需要的向心力F_n，
所以：${F_n}=\frac{mv_0^2}{R}=\frac{{2mgR{n^2}{π^2}}}{h}$（n=1，2，3，…） 
答：（1）小球進入入口A處的速度v₀應(yīng)滿足：${v_0}=\frac{{nπR\sqrt{2gh}}}{h}$（n=1，2，3，…）
（2）在運動過程中，球?qū)ν驳膲毫κ?\frac{2mgR{n}^{2}{π}^{2}}{h}$（n=1，2，3，…）

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握曲線運動的處理方法，抓住等時性以及在水平方向上運動的周期性進行求解．