Question

9．如圖所示，兩端開口、半徑為r的絕緣剛性圓管豎直放置，O₁OO₂為其中軸線，側(cè)面上有兩個(gè)高度差為h的小孔P₁和P₂，兩小孔與中軸線在同一豎直平面內(nèi)，P₁孔附近豎直放置一對間距為d的平行金屬極板M，N，兩極板間加有恒定電壓，N板中有個(gè)小孔P，且P、P₁、O三點(diǎn)恰好位于垂直N板的水平直線上，P、P₁距離為2d，整個(gè)圓管內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場．質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子從M板由靜止釋放，經(jīng)P、P₁進(jìn)人圓管后在管內(nèi)與管壁發(fā)生兩次彈性碰撞（碰撞前后速度大小不變，方向變化遵循光的反射規(guī)律）后，最終恰好能回到M板，不計(jì)粒子重力．
（1）求粒子在圓管內(nèi)運(yùn)動的速率v
（2）求粒子從M板處釋放到再次回到M板的時(shí)間T；
（3）若在整個(gè)圓管內(nèi)再加上一個(gè)豎直向下的勻強(qiáng)電場，并適當(dāng)調(diào)整MN極板間的電壓，可使粒子在管內(nèi)與管壁發(fā)生三次彈性碰撞后從P₂孔飛出，求電場強(qiáng)度大小E的可能值．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律列式，并結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)粒子在電場加速，依據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求得加速時(shí)間，再根據(jù)周期公式，求得磁場運(yùn)動的時(shí)間，從而即可求解；
（3）粒子在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動，水平方向粒子做勻速圓周運(yùn)動，畫出運(yùn)動的軌跡，根據(jù)運(yùn)動的時(shí)間，從而確定電場強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）粒子在管內(nèi)運(yùn)動軌跡的俯視圖如圖甲所示，其中
θ=$\frac{π}{6}$                                     
軌跡半徑R=rcotθ=$\sqrt{3}$r                        
據(jù)洛倫茲力提供向心力有qυB=m$\frac{υ2}{R}$             
解得υ=$\frac{\sqrt{3}qBr}{m}$                                
（2）粒子在M、N板間的加速時(shí)間t₁=$\fracethgp6r{\frac{υ}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}md}{3qBr}$   
粒子從P到P₁的運(yùn)動時(shí)間t₂=$\frac{2d}{υ}$=$\frac{2\sqrt{3}md}{3qBr}$     
粒子在管內(nèi)的運(yùn)動時(shí)間t₃=$\frac{6θ}{2π}$•$\frac{2πR}{υ}$=$\frac{πm}{qB}$       
粒子運(yùn)動的時(shí)間T=2t₁+2t₂+t₃=$\frac{8\sqrt{3}md}{3qBr}$+$\frac{πm}{qB}$    
（3）設(shè)粒子在管內(nèi)運(yùn)動的時(shí)間為t，粒子在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動
a=$\frac{qE}{m}$                                      
h=$\frac{1}{2}$at²；
水平方向粒子做勻速圓周運(yùn)動，并與管壁發(fā)生三次彈性碰撞，其運(yùn)動軌跡有圖乙和圖丙兩種情況，


對應(yīng)的運(yùn)動時(shí)間分別為：
t=$\frac{3π}{2π}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3πm}{qB}$                           
或t=$\frac{π}{2π}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$                           
解得E=$\frac{2qh{B}^{2}}{9{π}^{2}m}$ 或E=$\frac{2qh{B}^{2}}{{π}^{2}m}$                                
答：（1）粒子在圓管內(nèi)運(yùn)動的速率$\frac{\sqrt{3}qBr}{m}$；
（2）粒子從M板處釋放到再次回到M板的時(shí)間$\frac{8\sqrt{3}md}{3qBr}$+$\frac{πm}{qB}$；
（3）若在整個(gè)圓管內(nèi)再加上一個(gè)豎直向下的勻強(qiáng)電場，并適當(dāng)調(diào)整MN極板間的電壓，可使粒子在管內(nèi)與管壁發(fā)生三次彈性碰撞后從P₂孔飛出，求電場強(qiáng)度大小E的可能值$\frac{2qh{B}^{2}}{9{π}^{2}m}$ 或$\frac{2qh{B}^{2}}{{π}^{2}m}$．

點(diǎn)評 考查粒子在電場中加速，在磁場中偏轉(zhuǎn)，掌握牛頓第二定律與運(yùn)動學(xué)公式的應(yīng)用，理解半徑與周期公式，注意會畫出運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．