Question

16．如圖，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道由四分之一圓弧ab和拋物線bc組成，圓弧半徑Oa水平，b點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．已知h=2m，s=$\sqrt{2}$m．取重力加速度大小g=10m/s²．
（1）一小環(huán)套在軌道上從a點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)其在bc段軌道運(yùn)動時，與軌道之間無相互作用力，求圓弧軌道的半徑；
（2）若環(huán)從b點(diǎn)由靜止因微小擾動而開始滑下，求環(huán)到達(dá)c點(diǎn)時速度的水平分量的大�。�

Answer 1

分析 （1）當(dāng)其在bc段軌道運(yùn)動時，與軌道之間無相互作用力，則在bc上只受重力，做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動基本公式求出b點(diǎn)速度，再根據(jù)動能定理求解R；
（2）下滑過程中，初速度為零，只有重力做功，b到c的過程中，根據(jù)動能定理列式，根據(jù)平拋運(yùn)動基本公式求出c點(diǎn)速度方向與豎直方向的夾角，再結(jié)合運(yùn)動的合成與分解求解．

解答 解：（1）當(dāng)其在bc段軌道運(yùn)動時，與軌道之間無相互作用力，則在bc上只受重力，做平拋運(yùn)動，則有：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×2}{10}}=\sqrt{0.4}s$①
則在b點(diǎn)的速度${v}_{0}=\frac{s}{t}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{0.4}}=\sqrt{5}m/s$②，
從a到b的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgR$③
解得：R=0.25m．
（2）從b點(diǎn)下滑過程中，初速度為零，只有重力做功，b到c的過程中，根據(jù)動能定理得：
$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$④
因?yàn)槲矬w滑到c點(diǎn)時與豎直方向的夾角等于（1）問中做平拋運(yùn)動過程中經(jīng)過c點(diǎn)時速度與豎直方向的夾角相等，設(shè)為θ，
則根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律可知$sinθ=\frac{{{v}_{0}}^{\;}}{\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2gh}}$⑤，
根據(jù)運(yùn)動的合成與分解可得$sinθ=\frac{{v}_{水平}}{{v}_{c}}$⑥
由①②③④⑤⑥解得：v_水平=$\frac{2}{3}\sqrt{10}$m/s
答：
（1）圓弧軌道的半徑為0.25m；
（2）環(huán)到達(dá)c點(diǎn)時速度的水平分量的大小為$\frac{2}{3}\sqrt{10}$m/s．

點(diǎn)評 本題主要考查了平拋運(yùn)動基本公式、動能定理以及運(yùn)動的合成與分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動情況，特別抓住當(dāng)其在bc段軌道運(yùn)動時，與軌道之間無相互作用力這句話，難度適中．