Question

20．如圖所示，空間存在一水平向右的有界勻強電場，電場上下邊界的距離為d，左右邊界足夠?qū)挘�現(xiàn)有一帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點）以豎直向上的速度從下邊界上的A點進入勻強電場，且恰好沒有從上邊界射出，小球最后從下邊界的B點離開勻強電場，若A、B兩點間的距離為4$\sqrt{3}$d，重力加速度為g，求：
（1）勻強電場的電場強度；
（2）設(shè)A點的重力勢能為零，求小球在電場中的最大機械能；
（3）求小球速度的最小值．

Answer 1

分析 （1）小球水平方向受電場力作用，做勻加速運動，在豎直方向受重力作用，做勻變速運動，上升和下降過程完全對稱，根據(jù)運動學公式即可求得；
（2）根據(jù)動能定理和機械能即可求得；
（3）根據(jù)運動的合成與分解利用數(shù)學知識即可求得

解答 解：（1）設(shè)小球從A運動到B的時間為t，電場強度為E，水平方向受電場力作用，做勻加速運動，則有：${x}_{AB}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$，加速度：${a}_{1}=\frac{qE}{m}$，代入數(shù)據(jù)得：$4\sqrt{3}d$=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$
同理豎直方向受重力作用，做勻變速運動，上升和下降過程完全對稱：則有：$d=\frac{1}{2}g（\frac{t}{2}）^{2}$
聯(lián)立兩式解得：$E=\frac{mg}{q}$．
（2）機械能的變化量等于初重力以外的力做功，力做功越多機械能越大，則小球到達B點時的機械能最大，
根據(jù)動能定理知，$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}=qE•4d$，到達B點的動能為：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}+qE•4d$，
B點勢能為0J，則B點的機械能為：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$，再根據(jù)豎直方向最勻減速運動，由${v}_{0}^{2}=2gd$，得：$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=mgd$，結(jié)合：$E=\frac{mg}{q}$，
得B點的機械能為：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$=mgd+4Eqd=5mgd
（3）設(shè)經(jīng)過時間t′速度最小，由運動的合成與分解得：v_y=v₀-gt′，${v}_{x}=at′=\frac{qE}{m}t′=gt′$
合速度為：$v=\sqrt{{（gt′）}^{2}+{（{v}_{0}-gt′）}^{2}}$，由數(shù)學知識得：當（gt′）²=（v₀-gt′）²時，v有最小值，即：$t′=\frac{{v}_{0}}{2g}$，
帶入解得：$v=\sqrt{gd}$
答：（1）勻強電場的電場強度$\frac{mg}{q}$；
（2）小球在電場中的最大機械能為5mgd；
（3）小球速度的最小值為$\sqrt{gd}$

點評 本題是在電場的環(huán)境下，考查運動的分解與合成的關(guān)系，結(jié)合了動能定理得知識點求解問題