Question

2．如圖所示，小球用不可伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)的徑繩懸于O點(diǎn)．（不計(jì)阻力）
（1）給小球A在最低點(diǎn)一水平初速度，能使小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中輕繩始終不松弛，則該速度大小必須滿足什么條件？
（2）如果把輕繩改為輕桿，O為光滑轉(zhuǎn)動(dòng)軸，則在最低點(diǎn)小球A必須至少具有多大的水平初速度才能保證它能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)？

Answer 1

分析 （1）小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力，求出最高點(diǎn)的最小速度，再由機(jī)械能守恒定律求解即可．
（2）如果把輕繩改為輕桿，則小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度可以等于0，然后結(jié)合機(jī)械能守恒即可求出．

解答 解：（1）設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度至少為v₁，則在最高點(diǎn)，有mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$，v₁=$\sqrt{gL}$．
選擇小球在最低點(diǎn)時(shí)為重力勢(shì)能為零，則由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$+mg•2L
則v₂=$\sqrt{5gL}$
（2）如果把輕繩改為輕桿，O為光滑轉(zhuǎn)動(dòng)軸，則小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度可以等于0，所以在最低點(diǎn)的速度滿足：
$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}=mg2L$
所以：${v}_{3}=2\sqrt{gL}$
答：（1）給小球A在最低點(diǎn)一水平初速度，能使小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中輕繩始終不松弛，則該速度大小必須大于等于$\sqrt{5gL}$；
（2）如果把輕繩改為輕桿，O為光滑轉(zhuǎn)動(dòng)軸，則在最低點(diǎn)小球A必須至少是$2\sqrt{gL}$的水平初速度才能保證它能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，知道“繩模型”最高點(diǎn)的臨界情況，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行分析．