2.設(shè)想某載人飛船繞一類地行星做勻速圓周運(yùn)動,其軌道半徑可視為該行星半徑R,載人飛船運(yùn)動周期為T,該行星表面的重力加速度為g,引力常量為G,則(  )
A.飛船的速度是繞行星做圓周運(yùn)動的最大速度
B.該行星的平均密度可表示為$\frac{3π}{4GT^2}$
C.該行星的平均密度可表示為$\frac{3g}{4πGR}$
D.飛船做圓周運(yùn)動的半徑增大,其運(yùn)動周期將減小

分析 根據(jù)飛船受到的萬有引力等于飛船需要的向心力,以及根據(jù)星球表面重力等于萬有引力,可列式求解;

解答 解:A、飛船繞行星附近作勻速圓周運(yùn)動
    $G\frac{M{m}^{′}′}{{R}^{2}}={m}^{′}′\frac{{v}^{2}}{R}$
解得
  $v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$,飛船的速度隨環(huán)繞半徑的增大而減小,可知飛船的軌道半徑可視為該行星半徑R時,飛船的速度是繞行星做圓周運(yùn)動的最大速度.故A正確;
B、行星對飛船的萬有引力提供飛船所需向心力
       $G\frac{Mm}{r^2}=m{(\frac{2π}{T})^2}r$
解得
      $M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
又:M=ρV=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以該行星的平均密度可表示為$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$.故B錯誤;
C、重力等于萬有引力
      $m′g=\frac{GMm′}{{R}^{2}}$
解得:M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
所以該行星的平均密度可表示為:$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πGR}$.故C正確;
D、行星對飛船的萬有引力提供飛船所需向心力
       $G\frac{Mm}{r^2}=m{(\frac{2π}{T})^2}r$
解得:T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$,可知飛船做圓周運(yùn)動的半徑增大,其運(yùn)動周期將增大.故D錯誤
故選:AC

點(diǎn)評 該題考查萬有引力定律的一般應(yīng)用,解答本題關(guān)鍵抓住星球表面重力等于萬有引力,飛船的萬有引力等于向心力.

練習(xí)冊系列答案
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(1)小環(huán)C的質(zhì)量 M;
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