Question

20．如圖（甲）所示，光滑且足夠長的平行金屬導軌MN、PQ固定在同一水平面上，兩導軌間的距離L=1m，定值電阻R₁=6Ω，R₂=3Ω，導軌上放一質(zhì)量為m=1kg的金屬桿，桿的電阻r=2Ω，導軌的電阻不計，整個裝置處于磁感應(yīng)強度為B=0.8T的勻強磁場中，磁場的方向垂直導軌平面向下．現(xiàn)用一拉力F沿水平方向拉桿，使金屬桿以一定的初速度開始運動．圖（乙）所示為通過R₁中電流的平方I₁²隨時間t的變化關(guān)系圖象，求：

（1）5s末金屬桿的速度；
（2）金屬桿在t時刻所受的安培力；
（3）5s內(nèi)拉力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖線得出5s末的電流，結(jié)合切割產(chǎn)生的電動勢等于 R₁兩端的電壓，求出5s末的速度．
（2）通過5s末通過電阻R₁中的電流，結(jié)合串并聯(lián)電路的特點求出總電流，從而得出安培力的大小表達式．
（3）根據(jù)圖線圍成的面積得出在R₁中產(chǎn)生的熱量，從而得出整個回路產(chǎn)生的熱量，結(jié)合動能定理求出拉力F做的功．

解答 解：（1）外電阻總電阻R_外=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{6×3}{6+3}$=2Ω，
由圖象得5s末的電流I₁=0.2A，R₁R₂并聯(lián)，故I_總=3I₁=0.6A，
E=I_總•（R_外+r）=0.6×（2+2）V=2.4V                                      
感應(yīng)電動勢：E=BLv，解得：v=$\frac{E}{BL}$=$\frac{2.4}{0.8×1}$=3m/s；
（2）圖象方程：I₁²=0.02+0.004t，解得：I₁=0.1$\sqrt{2+0.4t}$A，
R₁R₂并聯(lián)，故I_總=3I₁=0.3 $\sqrt{2+0.4t}$A，
安培力：F_A=BI_總L=0.24$\sqrt{2+0.4t}$N；
（3）圖線與時間軸包圍的“面積”為 $\frac{1}{2}$（0.02+0.04）×5=0.15，
故5s內(nèi)R₁中產(chǎn)生的焦耳熱為Q₁=I²Rt=0.15×6J=0.9J，
電路中總電熱Q_總=Q₁+Q₂+Q_r=6Q₁=5.4J                             
金屬桿初始速度v₀=$\frac{{E}_{0}}{BL}$=$\frac{3×\sqrt{0.02}×（2+2）}{0.8×1}$=1.5$\sqrt{2}$m/s，
由能量守恒定律得：W_F+W_A=△E_k，
又：W_A=Q_總，解得：W_F=△E_k+Q_總=$\frac{1}{2}$m（v²-v₀²）+Q_總，
代入數(shù)據(jù)得W_F=$\frac{1}{2}$×1×（32-1.52×2）+5.4J=7.65J       
答：（1）5s末金屬桿的速度為3m/s；
（2）金屬桿在t時刻所受的安培力為：0.24$\sqrt{2+0.4t}$N；
（3）5s內(nèi)拉力F所做的功為7.65J．

點評 本題整合了電路、力學和電磁感應(yīng)中：歐姆定律、焦耳定律、動能定理等等多個知識點，還要理解圖象的物理意義，綜合性較強．