Question

如圖所示，寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，MM′和NN′是它的兩條邊界．現(xiàn)有質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場(chǎng)射入．要使粒子不能從邊界NN′射出，求粒子入射速率v的最大值．

Answer 1

分析：帶電粒子垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度越大，粒子的軌跡半徑越大，當(dāng)軌跡恰好與邊界NN′相切時(shí)，粒子恰好不能從邊界NN′射出，根據(jù)幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解粒子入射速率的最大值．由于題中沒(méi)有說(shuō)明帶電粒子的電性，要分正電和負(fù)電兩種情況求解．

解答：解：題目中只給出粒子“電荷量為q”，未說(shuō)明是帶哪種電荷．若帶正電荷，軌跡是如圖所示上方與NN′相切的

1

4

圓弧，如圖1所示．
設(shè)軌道半徑為R，根據(jù)幾何知識(shí)得：
R-Rcos45°=d
解得：R=（2+

2

）d
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)由洛倫茲力提供向心力，則牛頓第二定律得：
qvB=m

v2

R

解得：v=（2+

2

）

Bqd

m

．
若帶負(fù)電荷，軌跡如圖所示下方與NN′相切的

3

4

圓弧，如圖2所示．根據(jù)幾何知識(shí)得：
R+Rcos45°=d
解得：R=（2-

2

）d
由qvB=m

v2

R

解得：v=（2-

2

）

Bqd

m

．
答：粒子入射速率v的最大值是（2+

2

）

Bqd

m

或（2-

2

）

Bqd

m

．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡問(wèn)題，畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求軌跡半徑是經(jīng)常采用的方法，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，提高解題能力．