Question

2．在真空中，邊長為3L的正方形區(qū)域ABCD分成相等的三部分，左右兩側為勻強磁場，中間區(qū)域為勻強電場，如圖所示．左側磁場的磁感應強度大小為B₁=$\frac{\sqrt{6mqU}}{2qL}$，方向垂直紙面向外；右側磁場的磁感應強度大小為B₂=$\sqrt{\frac{6mqU}{qL}}$，方向垂直于紙面向里；中間區(qū)域電場方向與正方形區(qū)域的上下邊界平行．一質量為m、電荷量為+q的帶電粒子從平行金屬板的正極板開始由靜止被加速，加速電壓為U，加速后粒子從a點進入左側磁場，又從距正方形上下邊界等間距的b點沿與電場平行的方向進入中間區(qū)域的電場中，不計粒子重力，求：
（1）a點到A點的距離；
（2）電場強度E的取值在什么范圍內時粒子能從右側磁場的上邊緣CC₁間離開；
（3）改變中間區(qū)域的電場方向和場強大小，粒子可從D點射出，粒子在左右兩側磁場中運動的總時間是多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子經加速電場加速后的速度，結合洛倫茲力提供向心力，通過半徑公式和幾何關系求出a點到A點的距離；
（2）作出粒子在右側磁場中沿半徑為R_n和R_m的兩臨界軌道從上邊緣CC₁離開磁場時的軌跡，通過半徑公式、動能定理以及幾何關系求出電場強度的取值范圍；
（3）作出粒子的運動軌跡，根據(jù)周期公式以及粒子在磁場中的圓心角求出粒子在左右兩側磁場中運動的總時間．

解答 解：（1）粒子在金屬板電場加速時
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                   ①
粒子在左側磁場中運動時，有
$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$                    ②
$sinα=\frac{L}{{R}_{1}}$                      ③
a到A點的距離
$x=\frac{3L}{2}-{R}_{1}（1-cosα）$             ④
由①～④式解得
$x=（\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}）L$．

（2）如圖甲所示，粒子在右側磁場中沿半徑為R_n和R_m的兩臨界軌道從上邊緣CC₁離開磁場時，有
${R}_{n}=\frac{3}{4}L$                      ⑤
R_m=L                         ⑥
又$q{v}_{n}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{n}}^{2}}{{R}_{n}}$                      ⑦
$q{v}_{m}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{{R}_{m}}$                       ⑧
粒子在中間電場運動時
$q{E}_{n}L=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$           ⑨
$q{E}_{m}L=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$         ⑩
由①⑤⑦⑧⑨⑩式解得
  ${E}_{n}=\frac{11U}{16L}$，${E}_{m}=\frac{2U}{L}$       
電場強度的取值范圍為
$\frac{11U}{16L}＜E＜\frac{2U}{L}$
（3）粒子在左右磁場運動
${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}$⑪
${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$⑫
必須改變中間區(qū)域的電場方向并取定電場E的某一恰當確定數(shù)值，粒子才能沿如圖乙所示的軌跡從D點射出．
由①～③式可得α=60°，有
$t=\frac{{T}_{1}}{3}+\frac{{T}_{2}}{2}$⑬
由⑪⑫⑬式解得
$t=\frac{7πL}{3}\sqrt{\frac{m}{6qU}}$．
答：（1）a點到A點的距離為$（\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}）L$；
（2）電場強度E的取值在$\frac{11U}{16L}＜E＜\frac{2U}{L}$范圍內時粒子能從右側磁場的上邊緣CC₁間離開；
（3）粒子在左右兩側磁場中運動的總時間是$\frac{7πL}{3}\sqrt{\frac{m}{6qU}}$．

點評 本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，解題關鍵是畫出粒子的運動軌跡，運用幾何知識，結合半徑公式和周期公式進行求解．