Question

14．如圖甲所示，豎直面MN的左側(cè)空間中存在豎直方向的勻強(qiáng)電場（上、下及左側(cè)無邊界）．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q、可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球，以水平初速度v₀沿PQ向右做直線運(yùn)動，Q位于MN上．若小球剛經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)（t=0），在電場所在空間疊加如圖乙所示隨時(shí)間做周期性變化、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，使得小球再次通過D點(diǎn)時(shí)與PQ連線成90°角，已知D、Q間的距離為2L，t₀小于小球在磁場中做圓周運(yùn)動的周期，忽略磁場變化造成的影響，重力加速度為g．求：

（1）電場強(qiáng)度E的大小和方向；
（2）t₀與t₁的比值；
（3）小球過D點(diǎn)后做周期性運(yùn)動，則當(dāng)小球運(yùn)動的周期最大時(shí)，求出此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小及運(yùn)動的最大周期T_m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電場力與重力，二力平衡，即可求解；
（2）根據(jù)小球做勻速圓周運(yùn)動的周期與半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系，由牛頓第二定律以及周期公式，即可求解

解答 解：（1）不加磁場時(shí)，小球沿直線PQ做直線運(yùn)動，則有：qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上，
（2）小球能再次通過D點(diǎn)，其運(yùn)動軌跡如圖所示，設(shè)半徑為r，做圓周運(yùn)動的周期為T，則有：
r=v₀t₁，T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$，${t}_{0}=\frac{3}{4}T$，
解得：$\frac{{t}_{0}}{{t}_{1}}=\frac{3π}{2}$，
（3）當(dāng)小球運(yùn)動周期最大時(shí)，其運(yùn)動軌跡應(yīng)與MN相切，如圖：
由幾何關(guān)系得：2R=2L，
由牛頓第二定律得：Bqv₀=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，解得：${B}_{0}=\frac{m{v}_{0}}{qL}$，${T}_{m}=\frac{s}{{v}_{0}}=\frac{（6π+8）L}{{v}_{0}}$
答：（1）電場強(qiáng)度E的大小為$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上；
（2）t₀與t₁的比值為$\frac{3π}{2}$；
（3）此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，運(yùn)動的最大周期T_m為$\frac{（6π+8）L}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評 考查粒子受到電場力與洛倫茲力作用，涉及勻速直線運(yùn)動與勻速圓周運(yùn)動，掌握平衡方程與牛頓第二定律的方程，注意幾何知識在題中的應(yīng)用，并掌握運(yùn)動軌跡的對稱性．