Question

6．如圖所示，水平傳送帶的右端與豎直面內(nèi)的用光滑鋼管彎成的“9”形固定軌道相接，鋼管內(nèi)徑很�。畟魉蛶У倪\(yùn)行速度為v₀=6m/s，將質(zhì)量m=1.0kg的可看作質(zhì)點(diǎn)的滑塊無初速地放到傳送帶A端，傳送帶長(zhǎng)度為L(zhǎng)=12.0m，“9”字全高H=0.8m，“9”字上半部分圓弧半徑為R=0.2m，滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3，重力加速g=10m/s²，試求：
（1）滑塊從傳送帶A 端運(yùn)動(dòng)到B 端所需要的時(shí)間；
（2）滑塊滑到軌道最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道作用力的大小和方向；
（3）若滑塊從“9”形軌道D點(diǎn)水平拋出后，恰好垂直撞在傾角θ=45°的斜面上P點(diǎn)，求P、D 兩點(diǎn)間的豎直高度 h（保留兩位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 （1）滑塊在傳送帶上先加速后勻速，根據(jù)牛頓第二定律求加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求加速時(shí)間和位移，再求勻速時(shí)間，得到總時(shí)間；
（2）先對(duì)從B到C過程根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出C點(diǎn)速度，再根據(jù)重力和軌道作用力的合力提供向心力，列方程求出軌道的作用力，再得到滑塊對(duì)軌道的作用力；
（3）滑塊從B到D的過程中由動(dòng)能定理列式求滑塊經(jīng)過D點(diǎn)的速度．根據(jù)滑塊垂直撞在傾角θ=45°的斜面上P點(diǎn)，由速度的分解求出豎直分豎直速度，再求h．

解答 解：（1）在傳送帶上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律得：μmg=ma，
得：a=μg=0.3×10m/s²=3m/s²
加速到與傳送帶達(dá)到共速所需要的時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{6}{3}$=2s                
前2s內(nèi)的位移為：x₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×3×{2}^{2}$m=6m                                 
之后滑塊做勻速運(yùn)動(dòng)的位移為：x₂=L-x₁=6m
所用的時(shí)間為：t₂=$\frac{{x}_{2}}{{v}_{0}}$=$\frac{6}{6}$s=1s                                     
故滑塊從傳送帶A 端運(yùn)動(dòng)到B 端所需要的時(shí)間：t=t₁+t₂=3s                                          
（2）滑塊由B到C的過程中動(dòng)能定理得：
-mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$       
在C點(diǎn)，軌道對(duì)滑塊的彈力與其重力的合力為其做圓周運(yùn)動(dòng)提供向心力，設(shè)軌道對(duì)滑塊的彈力方向豎直向下，由牛頓第二定律得：
F_N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$ 
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：F_N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-mg（$\frac{2H}{R}$+1）=90N，方向豎直向下
由牛頓第三定律得，滑塊對(duì)軌道的壓力大小 90N，方向豎直向上．
（3）滑塊從B到D的過程中由動(dòng)能定理得：
-mg（H-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$   
在P點(diǎn)豎直分速度為：v_y=$\frac{{v}_{D}}{tan45°}$，又h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$，
代入數(shù)據(jù)解得：h=1.4m
答：（1）滑塊從傳送帶A端運(yùn)動(dòng)到B端所需要的時(shí)間為3s；
（2）滑塊滑到軌道最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道作用力的大小為90N和方向豎直向上．
（3）P、D 兩點(diǎn)間的豎直高度 h是1.4m．

點(diǎn)評(píng) 本題中物體在傳送帶上先加速后勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式聯(lián)立確定運(yùn)動(dòng)情況，滑塊在細(xì)管中運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒，可以求出各個(gè)時(shí)刻的速度，最后結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解答．