Question

8．如圖1，電阻不計的足夠長的平行光滑金屬導軌PX、QY相距L=0.5m，底端連接電阻R=2Ω，導軌平面傾斜角θ=30°，勻強磁場垂直于導軌平面向上，磁感應強度B=1T．質(zhì)量m=40g、電阻R=0.5Ω的金屬棒MN放在導軌上，金屬棒通過絕緣細線在電動機牽引下從靜止開始運動，經(jīng)過時間t₁=2s通過距離x=1.5m，速度達到最大，這個過程中電壓表示數(shù)U₀=8.0V，電流表實數(shù)I₀=0.6A，示數(shù)穩(wěn)定，運動過程中金屬棒始終與導軌垂直，細線始終與導軌平行且在同一平面內(nèi)，電動機線圈內(nèi)阻r₀=0.5Ω，g=10m/s²．求：

（1）細線對金屬棒拉力的功率P多大？
（2）從靜止開始運動的t₁=2s時間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q_R是多大？
（3）用外力F代替電動機沿細線方向拉金屬棒MN，使金屬棒保持靜止狀態(tài)，金屬棒到導軌下端距離為d=1m．若磁場按照圖2規(guī)律變化，外力F隨著時間t的變化關系式？

Answer 1

分析 （1）細線對金屬棒拉力的功率P等于電動機的輸出功率，由題知電壓表和電流表的示數(shù)穩(wěn)定，說明電動機的輸出功率不變，由輸入功率與內(nèi)電路消耗的功率之差求解電動機的輸出功率，從而得解．
（2）金屬棒先沿導軌向上做加速運動，后做勻速運動，速度達到最大．根據(jù)法拉第電磁感應定律、歐姆定律和安培力公式推導出安培力與速度的關系式，再由平衡條件求出金屬棒的最大速度，運用能量守恒定律求解R產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應定律、歐姆定律、安培力公式和平衡條件求解F的表達式．

解答 解析：（1）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒，有：
拉力的功率P=I₀U₀-I₀²r₀=0.6×8.0-0.6²×0.5=4.68W      
（2）當從靜止開始運動經(jīng)過t₁=2s時間，金屬棒速度達到最大，設此時為v_m，金屬棒中電動勢為E，電流為I₁，受到的安培力為F_安，細線的拉力為F_拉，則
  E=BLv_m
  I₁=$\frac{E}{R+r}$
  F_安=BI₁L
又 P=F_拉v_m．
速度最大時棒做勻速運動，則有
 F_拉=mgsinθ+F_安
解得v_m=1m/s
金屬棒從靜止開始運動到達到最大速度過程中，設整個電路中產(chǎn)生的熱量為Q，由能量轉(zhuǎn)化和守恒得：
  Pt=mgxsinθ+$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$+Q
  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q
解得 Q_R=0.224J                
（3）由圖可知 $\frac{△B}{△t}$=0.4T/s
設在t時刻，磁場的磁感應強度為B′，金屬棒中電動勢為E′，電流為I′，受到的安培力為F_安′，則
 B′=（0.2+0.4t）（T）            
根據(jù)法拉第電磁感應定律得：
感應電動勢 E′=$\frac{△B}{△t}$Ld，
感應電流  I′=$\frac{E′}{R+r}$
金屬棒所受的安培力 F_安′=B′I′L                      
根據(jù)平衡條件得 F=mgsinθ+F_安′
解得 F=0.016t+0.208（N）      
答：
（1）細線對金屬棒拉力的功率P為4.68W．
（2）從靜止開始運動的t₁=2s時間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q_R是0.224J．
（3）外力F隨著時間t的變化關系式為F=0.016t+0.208 （N）．

點評 本題對綜合應用電路知識、電磁感應知識和數(shù)學知識的能力要求較高，要正確分析金屬棒的受力情況和運動情況，明確能量是如何轉(zhuǎn)化的，熟練推導安培力與速度的關系式，運用力學的基本規(guī)律求解電磁感應問題．