Question

17．如圖甲所示，兩塊相同的平行金屬板M、N正對(duì)著放置，相距為$\frac{R}{2}$，板M、N上的小孔A、C與O三點(diǎn)共線，CO=R，連線AO垂直于板M、N．以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．收集屏PQ上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離都為2R，兩端點(diǎn)P、Q關(guān)于連線AO對(duì)稱，屏PQ所對(duì)的圓心角θ=120°．質(zhì)量為m、電荷量為e的質(zhì)子連續(xù)不斷地經(jīng)A進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)，接著通過C進(jìn)入磁場(chǎng)．質(zhì)子重力及質(zhì)子間的相互作用均不計(jì)，質(zhì)子在A處的速度看作零．
（1）若M、N間的電壓U_MN=+U時(shí)，求質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小v₀．
（2）若M、N間接入如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的電壓U_MN=|U₀sin$\frac{π}{T}$t|（式中U₀=$\frac{3e{B}^{2}{R}^{2}}{m}$，周期T已知），且在質(zhì)子通過板間電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)板間電場(chǎng)視為恒定，則質(zhì)子在哪些時(shí)刻自s1處進(jìn)入板間，穿出磁場(chǎng)后均能打到收集屏PQ上？
（3）在上述（2）問的情形下，當(dāng)M、N間的電壓不同時(shí)，質(zhì)子從s₁處到打在收集屏PQ上經(jīng)歷的時(shí)間t會(huì)不同，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子在電場(chǎng)中做加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求得質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）由動(dòng)能定理可得出質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度表達(dá)式；由幾何關(guān)系可知質(zhì)子能打在收集屏上的臨界條件，則由牛頓第二定律可求得能打在屏上的質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)的時(shí)刻；
（3）根據(jù)質(zhì)子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的關(guān)系可推導(dǎo)出質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的最大時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，有：$eU=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
（2）質(zhì)子在板間運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理，有$e{U}_{MN}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-0$
質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，有：$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
若質(zhì)子能打在收集屏，軌道半徑r與R應(yīng)滿足的關(guān)系：
$r≥\sqrt{3}R$
解得板間電壓：${U}_{MN}^{\;}≥\frac{3e{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2m}$
結(jié)合圖象可知：質(zhì)子在$t=kT+\frac{T}{6}～kT+\frac{5T}{6}（k=0、1、2…）$之間任一時(shí)刻從${S}_{1}^{\;}$處進(jìn)入電場(chǎng)，均能打到收集屏上
（3）M、N間的電壓越小，質(zhì)子穿出電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度越小，質(zhì)子在極板間經(jīng)歷的時(shí)間越長(zhǎng)，同時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑越小，在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間也會(huì)越長(zhǎng)，出磁場(chǎng)后打到收集屏前作勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越長(zhǎng)，所以當(dāng)質(zhì)子打在收集屏的P端時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)間t最長(zhǎng)，兩板間的電壓此時(shí)為：
${U}_{MN}^{\;}=\frac{1}{2}{U}_{0}^{\;}$
在板間電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{1}^{\;}=\frac{R}{v}$
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{2}^{\;}=\frac{60°}{360°}×\frac{2πr}{v}=\frac{π\(zhòng)sqrt{3}R}{3v}$
出磁場(chǎng)后打到收集屏前作勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{3}^{\;}=\frac{R}{v}$
所以，運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為：
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$=$（\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{π}{3}）\frac{\sqrt{3}R}{v}$=$（\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{π}{3}）\frac{m}{eB}$
答：（1）質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小為$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
（2）質(zhì)子在$t=kT+\frac{T}{6}～kT+\frac{5T}{6}（k=0、1、2…）$之間任一時(shí)刻從${S}_{1}^{\;}$處進(jìn)入電場(chǎng)均能打到收集屏上
（3）時(shí)間t的最大值為$（\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{π}{3}）\frac{m}{eB}$

點(diǎn)評(píng) 本題要注意質(zhì)子在電場(chǎng)中加速后進(jìn)入磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)；加速電場(chǎng)中由動(dòng)能定理求出速度，而在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要由幾何關(guān)系確定圓心和半徑，再根據(jù)牛頓第二定律及向心力公式列式求解．本題中的難點(diǎn)在于找出時(shí)間范圍及時(shí)間的最大值．