Question

9．如圖所示，輕桿長(zhǎng)為2L，水平轉(zhuǎn)軸O穿過(guò)桿的中點(diǎn)（接觸面光滑），桿兩端分別固定著小球A和B．A球質(zhì)量為m，B球質(zhì)量為2m，兩球隨桿一起在豎直平面內(nèi)繞軸O做圓周運(yùn)動(dòng)．（重力加速度用g表示）
（1）桿以某角速度繞轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，A球在最高點(diǎn)時(shí)，桿的上端恰不受力，求此時(shí)轉(zhuǎn)軸O受力的大小和方向；
（3）若桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度逐漸變化，試問(wèn)桿轉(zhuǎn)至豎直位置時(shí)，能否出現(xiàn)轉(zhuǎn)軸O不受力的情況？若能，請(qǐng)說(shuō)明此時(shí)哪個(gè)球在上端，桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點(diǎn)的速度，A、B兩球由于半徑相等，角速度相等，可知線(xiàn)速度大小相等．再根據(jù)牛頓第二定律求出桿子對(duì)B球的拉力大小，從而得出時(shí)轉(zhuǎn)軸O受力的大小和方向；
（2）因?yàn)锽的質(zhì)量大于A(yíng)的質(zhì)量，只有B球在最高點(diǎn)時(shí)，且做圓周運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)O軸不受力，此時(shí)桿子對(duì)A、B兩球均表現(xiàn)為拉力，根據(jù)拉力相等求出A、B的速度．

解答 解：（1）A在最高點(diǎn)時(shí)，桿的上端恰不受力，根據(jù)牛頓第二定律得，$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，解得${v}_{1}=\sqrt{gL}$，
A、B的線(xiàn)速度大小相等，對(duì)B分析，根據(jù)牛頓第二定律得，${F}_{B}-2mg=2m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，解得F_B=4mg，
則轉(zhuǎn)軸O受到的力方向豎直向下，大小為4mg．
（2）要使O軸不受力，根據(jù)B的質(zhì)量大于A(yíng)的質(zhì)量，可判斷B球應(yīng)在最高點(diǎn)．
對(duì)B有：T_OB+2mg=2mLω²，
對(duì)A有：T_OA-mg=mLω²，
軸O不受力時(shí)，T_OA=T_OB，可得：ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$．
答：（1）此時(shí)轉(zhuǎn)軸O受力的大小為4mg，方向豎直向下．
（2）能出現(xiàn)轉(zhuǎn)軸O不受力的情況，此時(shí)B球在上端，桿轉(zhuǎn)到的角速度為$\sqrt{\frac{3g}{L}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，再運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．