Question

4．如圖所示，在傾角θ=37°的足夠長(zhǎng)的斜面上，有質(zhì)量m₁=2kg的長(zhǎng)木板．開(kāi)始時(shí)，長(zhǎng)木板上有一質(zhì)量m₂=1kg的小鐵塊（視為質(zhì)點(diǎn)）以相對(duì)地面的初速度v₀=1m/s從長(zhǎng)木板的最上端沿長(zhǎng)木板向下滑動(dòng)，同時(shí)長(zhǎng)木板在沿斜面向上的拉力F的作用下始終做速度v=0.6m/s的勻速運(yùn)動(dòng)，小鐵塊最終與長(zhǎng)木板一起沿斜面向上做勻速運(yùn)動(dòng)．已知小鐵塊與長(zhǎng)木板、長(zhǎng)木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.8，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求小鐵塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)的加速度．
（2）小鐵塊與長(zhǎng)木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)和相對(duì)靜止時(shí)的拉力F分別為多大？
（3）長(zhǎng)木板至少多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小鐵塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)的加速度大�。�
（2）對(duì)木板分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡 求出小鐵塊和木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)拉力F的大小，對(duì)整體分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡求出相對(duì)靜止時(shí)拉力F的大�。�
（3）根據(jù)速度時(shí)間公式求出小鐵塊速度減為零的時(shí)間，結(jié)合位移公式求出相對(duì)位移的大小，根據(jù)速度時(shí)間公式求出小鐵塊返回做勻加速直線運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到0.6m/s的時(shí)間，結(jié)合位移公式求出相對(duì)位移的大小，從而求出長(zhǎng)木板的至少長(zhǎng)度．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得，小鐵塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)的加速度${a}_{1}=\frac{μ{m}_{2}gcosθ-{m}_{2}gsinθ}{{m}_{2}}$=μgcosθ-gsinθ=0.8×10×0.8-10×0.6=0.4m/s²．
（2）小鐵塊與長(zhǎng)木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，對(duì)木板分析，根據(jù)平衡有：F=m₁gsinθ+μm₂gcosθ+μ（m₁+m₂）gcosθ=20×0.6+0.8×10×0.8+0.8×30×0.8N=37.6N．
小鐵塊與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止時(shí)，對(duì)整體分析，F(xiàn)=（m₁+m₂）gsinθ+μ（m₁+m₂）gcosθ=30×0.6+0.8×30×0.8N=37.2N．
（3）小鐵塊速度減為零的時(shí)間${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{1}{0.4}s=2.5s$，這段時(shí)間內(nèi)相對(duì)位移的大小$△{x}_{1}=v{t}_{1}+\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{1}}=0.6×2.5+\frac{1}{0.8}$m=1.4m．
鐵塊速度達(dá)到0.6m/s所需的時(shí)間${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{0.6}{0.4}s=1.5s$，這段時(shí)間內(nèi)相對(duì)位移的大小$△{x}_{2}=v{t}_{2}-\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=0.6×1.5-\frac{0.36}{2×0.4}$m=0.45m，
則木板的至少長(zhǎng)度L=△x₁+△x₂=1.4+0.45m=1.85m．
答：（1）小鐵塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)的加速度為0.4m/s²；
（2）小鐵塊與長(zhǎng)木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)和相對(duì)靜止時(shí)的拉力F分別為37.6N、37.2N；
（3）長(zhǎng)木板至少為1.85m．

點(diǎn)評(píng) 本題是兩個(gè)物體多個(gè)過(guò)程的問(wèn)題，分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是基礎(chǔ)，把握臨界條件是解題的關(guān)鍵．結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，有一定的難度．