Question

6．如圖，一半徑R=0.7m的圓桌固定于水平地面，其上有一個(gè)半徑為r=0.3m的可在電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下繞圓心旋轉(zhuǎn)的圓盤，與圓桌同心放置，A為圓盤上邊緣上的一點(diǎn)，現(xiàn)用一長(zhǎng)l=0.4m的輕繩一端系于A點(diǎn)，另一端栓一質(zhì)量為m=1kg的物塊（物塊可視為質(zhì)點(diǎn)）．物塊與桌面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3，輕繩能承受的最大拉力T=5N，現(xiàn)給電動(dòng)機(jī)通電使圓盤緩慢加速，直至輕繩拉斷．（g取10m/s²）

（1）求輕繩剛好拉斷時(shí)，物塊所受的合力；
（2）求輕繩剛好拉斷時(shí)，圓盤的角速度ω；
（3）試通過(guò)計(jì)算判斷物塊是否會(huì)從桌面滑落．若不能滑落求最終物塊到O點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）物體受重力、支持力、拉力和滑動(dòng)摩擦力，合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則作圖，結(jié)合幾何關(guān)系得到物體的合力；
（2）結(jié)合幾何關(guān)系得到半徑轉(zhuǎn)動(dòng)R′，合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律列式求解圓盤的角速度ω；
（3）細(xì)線斷開(kāi)后，物體沿著切線方向飛出，設(shè)能夠到達(dá)桌子邊緣，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解末速度．

解答 解：（1）物體受重力、支持力、拉力和滑動(dòng)摩擦力，合力提供向心力，如圖所示：

摩擦力：f=μmg=0.3×1×10=3N
故合力為：F=$\sqrt{{T}^{2}-{f}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4N$
（2）物體的時(shí)實(shí)際位置（設(shè)為B）、點(diǎn)A、點(diǎn)O構(gòu)成等腰三角形，故sin∠ABO=$\frac{f}{T}=0.6$
故∠ABO=37°，
故轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為：R′=2lcos37°=2×0.4×0.8=0.64m
根據(jù)公式F=mω²R′，有：
ω=$\sqrt{\frac{F}{mR′}}$=$\sqrt{\frac{4}{1×0.64}}=2.5rad/s$
（3）細(xì)線斷開(kāi)后，物體沿著切線方向飛出，設(shè)能夠到達(dá)桌子邊緣，則相對(duì)位移為：
x=$\sqrt{{R}^{2}-R{′}^{2}}$=$\sqrt{0．{7}^{2}-0.6{4}^{2}}$≈0.284m
假設(shè)能夠滑道桌子邊緣，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
-μmg•x=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m（ωR′）^{2}$
解得：
v₁=$\sqrt{（ωR′）^{2}-4μgx}$=$\sqrt{（2.5×0.64）^{2}-4×0.3×10×0.284}$=$\sqrt{-0.848}$
無(wú)解，說(shuō)明不能滑離桌面；
設(shè)實(shí)際位移為x′，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
-μmg•x′=$0-\frac{1}{2}m{（ωR′）}^{2}$
解得：
x′=$\frac{（ωR′）^{2}}{2μg}$=$\frac{（2.5×0.64）^{2}}{2×0.3×10}$=0.085m
故與O點(diǎn)的距離為：
S=$\sqrt{x{′}^{2}+R{′}^{2}}$=$\sqrt{0.08{5}^{2}+0.6{4}^{2}}$≈0.646m
答：（1）輕繩剛好拉斷時(shí)，物塊所受的合力為4N；
（2）輕繩剛好拉斷時(shí)，圓盤的角速度ω為2.5rad/s；
（3）物塊不能滑落，最終物塊到O點(diǎn)的距離約為0.646m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確滑塊的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，找到向心力來(lái)源，然后根據(jù)動(dòng)能定理、牛頓第二定律并結(jié)合向心力公式列式分析，不難．