Question

4．如圖所示，半徑為L(zhǎng)₁=2m的金屬圓環(huán)內(nèi)上、下半圓各有垂直圓環(huán)平面的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B₁=$\frac{10}{π}$ T．長(zhǎng)度也為L(zhǎng)₁、電阻為R的金屬桿ab，一端處于圓環(huán)中心，另一端恰好搭接在金屬環(huán)上，繞著a端沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω=$\frac{π}{10}$ rad/s．通過(guò)導(dǎo)線將金屬桿的a端和金屬環(huán)連接到圖示的電路中（連接a端的導(dǎo)線與圓環(huán)不接觸，圖中的定值電阻R₁=R，滑片P位于R₂的正中央，R₂的總阻值為4R），圖中的平行板長(zhǎng)度為L(zhǎng)₂=2m，寬度為d=2m．圖示位置為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，在平行板左邊緣中央處剛好有一帶電粒子以初速度v₀=0.5m/s向右運(yùn)動(dòng)，并恰好能從平行板的右邊緣飛出，之后進(jìn)入到有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂，左邊界為圖中的虛線位置，右側(cè)及上下范圍均足夠大．（忽略金屬桿與圓環(huán)的接觸電阻、圓環(huán)電阻及導(dǎo)線電阻，忽略電容器的充放電時(shí)間，忽略帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的電磁輻射的影響，不計(jì)平行金屬板兩端的邊緣效應(yīng)及帶電粒子的重力和空氣阻力）求：
（1）在0～4s內(nèi)，平行板間的電勢(shì)差U_MN；
（2）帶電粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的速度；
（3）在上述前提下若粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后不會(huì)第二次進(jìn)入電場(chǎng)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，結(jié)合串并聯(lián)電路特點(diǎn)即可求解．
（2）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)求解即可．
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求解粒子運(yùn)動(dòng)半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求解磁場(chǎng)強(qiáng)度大小．

解答 解：（1）金屬桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)恒為
E=$\frac{1}{2}$B₁L${\;}_{1}^{2}$ω=2 V
由串并聯(lián)電路的連接特點(diǎn)知：E=I•4R，U₀=I•2R=$\frac{E}{2}$=1 V
T₁=$\frac{2π}{ω}$=20 s
由右手定則知：
在0～4 s時(shí)間內(nèi)，金屬桿ab中的電流方向?yàn)閎→a，則φ_a＞φ_b，則在0～4 s時(shí)間內(nèi)，φ_M＜φ_N，U_MN=-1 V
（2）粒子在平行板電容器內(nèi)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在0～$\frac{{T}_{1}}{2}$時(shí)間內(nèi)水平方向L₂=v₀•t₁
t₁=$\frac{{L}_{2}}{{v}_{0}}$=4 s＜$\frac{{T}_{1}}{2}$
豎直方向$\fractd5xbv7{2}$=$\frac{1}{2}$at${\;}_{1}^{2}$
又因?yàn)椋簐_y=at₁=$\frac{1}{2}$m/s
解得：a=$\frac{1}{8}$m/s²，又因?yàn)椋篴=$\frac{qE}{m}$=$\frac{qU}{md}$，解得：
$\frac{q}{m}=\frac{1}{4}$C/kg
則粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m/s
tan θ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，所以該速度與水平方向的夾角θ=45°
（3）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由B₂qv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得r=$\frac{mv}{{B}_{2}q}$
由幾何關(guān)系及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知：
$\sqrt{2}$r＞d時(shí)離開(kāi)磁場(chǎng)后不會(huì)第二次進(jìn)入電場(chǎng)，即B₂＜$\frac{\sqrt{2}mv}{dq}$=$\frac{\sqrt{2}×4}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2 T
答：（1）在0～4s內(nèi)，兩極板間的電勢(shì)差U_MN為-1 V
（2）帶電粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的速度為$\frac{\sqrt{2}}{2}$m/s，方向與水平方向的夾角為45°　
（3）磁場(chǎng)強(qiáng)度大小B₂＜2 T．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的典型題目，利用好粒子在其中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合相關(guān)的公式及幾何關(guān)系求解即可．