Question

20．為了驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律，小明設(shè)計(jì)了如圖甲所示的實(shí)驗(yàn)，將一長(zhǎng)為L(zhǎng)的氣墊導(dǎo)軌如圖甲所示固定在一平臺(tái)上，將一寬度為b的遮光條固定在小車上，經(jīng)測(cè)量可知遮光條和小車的總質(zhì)量為M，氣墊導(dǎo)軌的頂端到平臺(tái)的高度為h，將一質(zhì)量為m的鉤碼通過(guò)質(zhì)量不計(jì)的細(xì)線與小車相連，并跨過(guò)圖甲中的摩擦不計(jì)的定滑輪，將一光電門固定在氣墊導(dǎo)軌上，光電門到氣墊導(dǎo)軌頂端的距離為x．將小車由氣墊導(dǎo)軌的頂端靜止釋放，小車沿氣墊下滑，經(jīng)測(cè)量遮光條的擋光時(shí)間為t，重力加速度用g表示．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）上述過(guò)程中小車和鉤碼的重力勢(shì)能減少了$（\frac{h}{L}M-m）gx$，小車和鉤碼的動(dòng)能增加了$\frac{1}{2}（M+m）\frac{^{2}}{{t}^{2}}$，如果在誤差允許的范圍內(nèi)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則$\frac{1}{{t}^{2}}$關(guān)于x的表達(dá)式為$\frac{1}{t^2}=\frac{2（hM-Lm）g}{{（M+m）L{b^2}}}x$．

Answer 1

分析 根據(jù)下降的高度求出系統(tǒng)重力勢(shì)能的減小量，根據(jù)極短時(shí)間內(nèi)的平均速度等于瞬時(shí)速度求出小車通過(guò)光電門的速度，從而得出系統(tǒng)動(dòng)能的增加量．
根據(jù)機(jī)械能守恒得出$\frac{1}{{t}^{2}}$與x的關(guān)系式．

解答 解：氣墊導(dǎo)軌的傾角正弦$sinθ=\frac{h}{L}$，則小車下滑的高度H=$xsinθ=\frac{xh}{L}$，則系統(tǒng)重力勢(shì)能的減小量△E_p=MgH-mgx=$（\frac{h}{L}M-m）gx$；
小車通過(guò)光電門的瞬時(shí)速度v=$\frac{t}$，則小車和鉤碼動(dòng)能的增加量△E_k=$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$=$\frac{1}{2}（M+m）\frac{^{2}}{{t}^{2}}$．
若系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：$（\frac{h}{L}M-m）gx$=$\frac{1}{2}（M+m）\frac{^{2}}{{t}^{2}}$，解得  $\frac{1}{t^2}=\frac{2（hM-Lm）g}{{（M+m）L{b^2}}}x$．
故答案為：$（\frac{h}{L}M-m）gx$； $\frac{1}{2}（M+m）\frac{^{2}}{{t}^{2}}$；    $\frac{1}{t^2}=\frac{2（hM-Lm）g}{{（M+m）L{b^2}}}x$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了系統(tǒng)機(jī)械能守恒問(wèn)題，注意在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小車重力勢(shì)能減小，鉤碼重力勢(shì)能增加，知道極短時(shí)間內(nèi)的平均速度等于瞬時(shí)速度．