Question

20．為了驗證機械能守恒定律，小明設計了如圖甲所示的實驗，將一長為L的氣墊導軌如圖甲所示固定在一平臺上，將一寬度為b的遮光條固定在小車上，經(jīng)測量可知遮光條和小車的總質量為M，氣墊導軌的頂端到平臺的高度為h，將一質量為m的鉤碼通過質量不計的細線與小車相連，并跨過圖甲中的摩擦不計的定滑輪，將一光電門固定在氣墊導軌上，光電門到氣墊導軌頂端的距離為x．將小車由氣墊導軌的頂端靜止釋放，小車沿氣墊下滑，經(jīng)測量遮光條的擋光時間為t，重力加速度用g表示．請回答下列問題：
（1）上述過程中小車和鉤碼的重力勢能減少了$（\frac{h}{L}M-m）gx$，小車和鉤碼的動能增加了$\frac{1}{2}（M+m）\frac{^{2}}{{t}^{2}}$，如果在誤差允許的范圍內系統(tǒng)的機械能守恒，則$\frac{1}{{t}^{2}}$關于x的表達式為$\frac{1}{t^2}=\frac{2（hM-Lm）g}{{（M+m）L{b^2}}}x$．

Answer 1

分析 根據(jù)下降的高度求出系統(tǒng)重力勢能的減小量，根據(jù)極短時間內的平均速度等于瞬時速度求出小車通過光電門的速度，從而得出系統(tǒng)動能的增加量．
根據(jù)機械能守恒得出$\frac{1}{{t}^{2}}$與x的關系式．

解答 解：氣墊導軌的傾角正弦$sinθ=\frac{h}{L}$，則小車下滑的高度H=$xsinθ=\frac{xh}{L}$，則系統(tǒng)重力勢能的減小量△E_p=MgH-mgx=$（\frac{h}{L}M-m）gx$；
小車通過光電門的瞬時速度v=$\frac{t}$，則小車和鉤碼動能的增加量△E_k=$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$=$\frac{1}{2}（M+m）\frac{^{2}}{{t}^{2}}$．
若系統(tǒng)機械能守恒，有：$（\frac{h}{L}M-m）gx$=$\frac{1}{2}（M+m）\frac{^{2}}{{t}^{2}}$，解得  $\frac{1}{t^2}=\frac{2（hM-Lm）g}{{（M+m）L{b^2}}}x$．
故答案為：$（\frac{h}{L}M-m）gx$； $\frac{1}{2}（M+m）\frac{^{2}}{{t}^{2}}$；    $\frac{1}{t^2}=\frac{2（hM-Lm）g}{{（M+m）L{b^2}}}x$

點評 本題考查了系統(tǒng)機械能守恒問題，注意在運動的過程中，小車重力勢能減小，鉤碼重力勢能增加，知道極短時間內的平均速度等于瞬時速度．