Question

18．如圖甲所示，平行正對(duì)金屬板A、B間距為d，板長為L，板面水平，加電壓后其間勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E=$\frac{2}{π}$V/m，方向豎直向上．板間有周期性變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖乙所示，設(shè)垂直紙面向里為正方向．t=0時(shí)刻一帶電粒子從電場(chǎng)左側(cè)靠近B板處以水平向右的初速度v₀開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)．（設(shè)A、B板內(nèi)側(cè)與粒子絕緣且光滑，重力加速度取g=10m/s²）

（1）判斷粒子電性的正負(fù)，并求粒子的比荷
（2）t₀時(shí)刻起，經(jīng)過1s粒子第一次速度變?yōu)樗�平向左，則B₁多大？
（3）若B₂=$\frac{1}{2}$B₁，t₀=$\frac{2}{π}$s，要使粒子能平行向右到達(dá)A板的右端，試求d與L比值的最大值k_max與最小值k_min，并求比值的取值范圍△k的最大值．

Answer 1

分析 （1）抓住粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力和電場(chǎng)力平衡，根據(jù)平衡得出粒子的電性以及比荷的大小．
（2）t₀時(shí)刻起粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過半個(gè)圓周速度第一次變?yōu)樗�平向左，結(jié)合周期公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（3）電場(chǎng)力和重力平衡，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)半徑公式求出粒子在不同磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，要使粒子能平行向右到達(dá)A板右邊沿，則粒子在兩種磁場(chǎng)中回旋半周的次數(shù)相同，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：（1）因?yàn)榱Ｗ幼鰟蛩僦本�運(yùn)動(dòng)，重力與電場(chǎng)力平衡，電場(chǎng)力豎直向上，故粒子帶正電．
有：Eq=mg
得：$\frac{q}{m}=\frac{g}{E}=5πC/kg$
（2）t₀時(shí)刻起粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過半個(gè)圓周速度第一次變?yōu)樗�平向左，設(shè)粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期為T₁，設(shè)粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，
有：${T}_{1}=\frac{2πm}{qB}$，且$\frac{1}{2}$T₁=1s
解得：B₁=0.2T
（3）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁和B₂時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R₁和R₂，
有：${R}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}=\frac{{v}_{0}}{π}$，${R}_{2}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}=\frac{2{v}_{0}}{π}$，
要使粒子能平行向右到達(dá)A板右邊沿，則粒子在兩種磁場(chǎng)中回旋半周的次數(shù)相同，設(shè)為n，有：
$d=2n（{R}_{1}+{R}_{2}）=\frac{6n{v}_{0}}{π}$，
${L}_{min}=n{v}_{0}{t}_{0}=\frac{2n{v}_{0}}{π}$，L_max=$（n+1）{v}_{0}{t}_{0}=\frac{2（n+1）{v}_{0}}{π}$（n=1，2，3，…）
${k}_{max}=\frac{2n（{R}_{1}+{R}_{2}）}{n{v}_{0}{t}_{0}}=3$，
${k}_{min}=\frac{2n（{R}_{1}+{R}_{2}）}{（n+1）{v}_{0}{t}_{0}}=\frac{3n}{n+1}$，（n=1，2，3，…）
$△k={k}_{max}-{k}_{min}=\frac{3}{n+1}$，當(dāng)n=1 時(shí)，△k有最大值，且最大值為：△k_max=1.5．
答：（1）粒子的比荷為5πC/kg；
（2）B₁的大小為0.2T；
（3）比值的取值范圍△k的最大值為1.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，知道電場(chǎng)力和重力平衡，受洛倫茲力提供向心力，做圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合半徑公式、周期公式進(jìn)行求解，第三問對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高，屬于壓軸部分，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．