Question

18．汽車由A地從靜止出發(fā)，沿平直公路駛向B地，汽車先以加速度a₁做勻加速運(yùn)動，中間做勻速運(yùn)動，最后以加速度大小a₂做勻減速運(yùn)動，到B地恰好停止，已知A、B兩地的路程為x，求汽車駛完全程的最短時間和最大速度．

Answer 1

分析 使汽車由A到達(dá)B的時間最短，汽車必須沒有勻速過程，只有勻加速運(yùn)動和勻減速運(yùn)動，即汽車先做勻加速直線運(yùn)動，后做勻減速直線運(yùn)動，根據(jù)速度公式得到勻加速運(yùn)動的時間與總時間t的關(guān)系，并求出最大速度，根據(jù)平均速度公式求出最短時間t．

解答 解：要使列車由A到達(dá)B的時間最短，列車必須先勻加速運(yùn)動，而后立即勻減速運(yùn)動．
設(shè)物體勻加速直線運(yùn)動和勻減速直線運(yùn)動的時間分別為t₁和t₂，最大速度為v．
則有：v=a₁t₁，v=a₂t₂
得到 a₁t₁=a₂t₂
由數(shù)學(xué)知識變形得：$\frac{{t}_{2}}{{t}_{1}}=\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$，
則$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}}=\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{{a}_{2}}$，
而t₁+t₂=t
得到${t}_{1}=\frac{{a}_{2}t}{{a}_{1}+{a}_{2}}$，
則v=a₁t₁=$\frac{{a}_{1}{a}_{2}t}{{a}_{1}+{a}_{2}}$，
由x=$\frac{v}{2}{t}_{1}+\frac{v}{2}{t}_{2}=\frac{v}{2}t$得，最短時間t=$\sqrt{\frac{2x（{a}_{1}+{a}_{2}）}{{a}_{1}{a}_{2}}}$，最大速度v=$\sqrt{\frac{2{a}_{1}{a}_{2}x}{{a}_{1}+{a}_{2}}}$．
答：汽車駛完全程的最短時間為$\sqrt{\frac{2x（{a}_{1}+{a}_{2}）}{{a}_{1}{a}_{2}}}$，最大速度為$\sqrt{\frac{2{a}_{1}{a}_{2}x}{{a}_{1}+{a}_{2}}}$．

點(diǎn)評 本題涉及兩個過程的運(yùn)動學(xué)問題，關(guān)鍵要抓住兩個過程之間速度聯(lián)系．也可以運(yùn)用作速度圖象的方法求解．