Question

15．如圖所示，有三個(gè)寬度均相等的區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；在區(qū)域Ⅰ和Ⅲ內(nèi)分別為方向垂直于紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（虛線為磁場(chǎng)邊界），區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，某種帶正電的粒子，從孔O₁以大小不同的速率沿圖示與aa′夾角α=30°的方向進(jìn)入磁場(chǎng)（不計(jì)重力）．
（1）試求出粒子的比荷$\frac{q}{m}$、速度為2v₀的粒子從區(qū)域I射出時(shí)的位置離O₁的距離L；
（2）若速度為v的粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)時(shí)間為$\frac{{t}_{0}}{5}$，在圖示區(qū)域Ⅱ中O₁O₂上方加豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，O₁O₂下方對(duì)稱加豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等，速度為v的粒子恰好每次均垂直穿過(guò)I、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的邊界面并能回到O₁點(diǎn)，求所加電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小與區(qū)域Ⅲ磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�

Answer 1

分析 （1）速度為υ_o和2υ_o時(shí)粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，故粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角相同，故只能在區(qū)域I中運(yùn)動(dòng)，故其軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為300°=$\frac{5}{3}π$，根據(jù)周期公式通過(guò)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出粒子的比荷．根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出速度為2v₀的粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算速度為2v₀的粒子從區(qū)域I射出時(shí)的位置離O₁的距離L．
（2）度為υ的粒子每次均垂直穿過(guò)I、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的邊界面并能回到O₁點(diǎn)，根據(jù)要求作出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的周期性求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)180°出磁場(chǎng)，根據(jù)半徑的大小關(guān)系求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）由題意可得速度為v₀和2v₀的粒子均由區(qū)域Ⅰ左側(cè)aa′出磁場(chǎng)，則粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為$\frac{5}{3}π$，
故${t}_{0}=\frac{5}{6}T$，
周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，
解得：$\frac{q}{m}=\frac{5π}{3B{t}_{0}}$．
對(duì)速度為2v₀的粒子在區(qū)域Ⅰ運(yùn)動(dòng)：$qB（2{v}_{0}）=m\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}=\frac{6{v}_{0}{t}_{0}}{5π}$．
由幾何關(guān)系可得：L=r=$\frac{6{v}_{0}{t}_{0}}{5π}$．
（2）當(dāng)速度為v時(shí)，${t}_{1}=\frac{{t}_{0}}{5}$，圓心角θ=60°，
有：qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}=\frac{3v{t}_{0}}{5π}$．
根據(jù)幾何關(guān)系得：d=Rsin60°=$\frac{3\sqrt{3}v{t}_{0}}{10π}$，
$R（1-cos60°）=\frac{qE}{2m}{t}^{2}$，
水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移為：x=vt，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性及周期性知：2x+4nx=d （n=0、1、2、3…）
解得：E=$\frac{16}{3}Bv（2n+1）^{2}$．
在第Ⅲ區(qū)域中，帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：$R′=\frac{R}{2}$，
即$\frac{mv}{qB′}=\frac{mv}{2qB}$，所以B′=2B．
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{5π}{3B{t}_{0}}$、速度為2v₀的粒子從區(qū)域I射出時(shí)的位置離O₁的距離為$\frac{6{v}_{0}{t}_{0}}{5π}$．
（2）所加電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為$\frac{16}{3}Bv（2n+1）^{2}$，區(qū)域Ⅲ磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是整個(gè)高中的重點(diǎn)，也是高考的必考的內(nèi)容，粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析是解題的關(guān)鍵．