Question

2．正常人從距地面1.5m高處跳下，經(jīng)過腿部的緩沖，著地時一般來說是安全的．如果人從高空跳下，需要使用降落傘才能安全著陸．經(jīng)過大量實驗和理論研究表明，空氣對降落傘的阻力f與空氣密度ρ、降落傘的迎風(fēng)面積S、降落傘相對空氣速度v、阻力系數(shù)c有關(guān)（由傘的形狀、結(jié)構(gòu)、材料等決定），其表達式是f=$\frac{1}{2}$cρSv²，g=10m/s²．根據(jù)以上信息，回答下列問題．
（1）在忽略空氣阻力的情況下，計算人從1.5m高處跳下著地時的速度大�。ㄓ嬎銜r人可視為質(zhì)點）；
（2）在某次高塔跳傘訓(xùn)練中，運動員使用的是有排氣孔的降落傘，其阻力系數(shù)c=0.90，空氣密度取ρ=1.25kg/m³．降落傘和運動員總質(zhì)量m=80kg，張開降落傘后達到勻速下降時，要求人能安全著地，降落傘的迎風(fēng)面積S至少是多大？
（3）跳傘運動員和降落傘的總質(zhì)量m=80kg，從h=65m高的跳傘塔上跳下，在下落過程中，經(jīng)歷了張開降落傘前自由下落、張開降落傘后減速下落和勻速下落直至落地三個階段．如圖所示是通過固定在跳傘運動員身上的速度傳感器繪制出的從張開降落傘開始做減速運動至達到勻速運動時的v-t圖象．根據(jù)圖象估算運動員做減速運動的過程中，空氣阻力對降落傘做功得平均功率．

Answer 1

分析 （1）在忽略空氣阻力的情況下，人做自由落體運動，由運動學(xué)公式求解人著地時的速度大��；
（2）由（1）求出人安全著陸的速度大小，張開降落傘后達到勻速下降時，空氣阻力大小等于運動員的重力，根據(jù)平衡條件和f=$\frac{1}{2}$cρSv²結(jié)合可求出降落傘的迎風(fēng)面積S；
（3）由v-t圖讀出，降落傘張開時運動員的速度大小和運動員收尾速度大小，由v-t圖線和時間軸所圍面積求得在0～3s時間內(nèi)運動員下落高度，由動能定理求解空氣阻力對降落傘做的功．從而求出做功的平均功率．

解答 解：（1）設(shè)人從1.5m高處跳下著地時的安全速度大小為v₀，則有：${{v}_{0}}^{2}=2gh$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×1.5}$m/s=$\sqrt{30}$m/s≈5.5m/s．
（2）由（1）可知人安全著陸的速度大小為$\sqrt{30}$m/s，跳傘運動員在空中勻速下降時空氣阻力大小等于運動員的重力，則有：
mg=$\frac{1}{2}$cρSv²，
解得：S=$\frac{2mg}{cρ{v}^{2}}=\frac{2×800}{0.90×1.25×30}{m}^{2}$=47.4m²．
（3）設(shè)空氣阻力對降落傘做功為W_f，由v-t圖可知，降落傘張開時運動員的速度大小v₁=20m/s，運動員收尾速度即勻速直線運動的速度v₂=5.0m/s，設(shè)在這段時間內(nèi)運動員下落的高度為h，根據(jù)動能定理得：
mgh+W_f=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：${W}_{f}=-mgh+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
由v-t圖線和時間軸所圍面積可知，在0～3s時間內(nèi)運動員下落高度為：h=25m
代入數(shù)據(jù)解得：W_f=-3.5×10⁴J，
則空氣阻力對降落傘做功得平均功率為：$\overline{P}=\frac{{W}_{f}}{t}=\frac{-3.5×1{0}^{4}}{3}W$=-1.17×10⁴W．
答：（1）人從1.5m高處跳下著地時的速度大小為5.5m/s；
（2）降落傘的迎風(fēng)面積S至少是47.4m²．
（3）空氣阻力對降落傘做功的平均功率為-1.17×10⁴W．

點評 本題首先要有耐心讀題，獲取有效信息，其次，通過分析運動過程，把握每個過程遵守的規(guī)律，實質(zhì)是運動學(xué)公式和動能定理的綜合應(yīng)用．