Question

在xoy平面內(nèi)，直線OP與y軸的夾角α=45°．第一、第二象限內(nèi)存在大小相等，方向分別為豎直向下和水平向右的勻強電場，電場強度E=1.0×10⁵N/C；在x軸下方有垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B=0.1T，如圖所示．現(xiàn)有一帶正電的粒子從直線OP上某點A（-L，L）處靜止釋放．設(shè)粒子的比荷

q

m

=4.0×107C/kg，粒子重力不計．求：
（1）當(dāng)L=2cm時，粒子進(jìn)入磁場時與x軸交點的橫坐標(biāo)
（2）當(dāng)L=2cm時，粒子進(jìn)入磁場時速度的大小和方向
（3）如果在直線OP上各點釋放許多個上述帶電粒子（粒子間的相互作用力不計），試證明各帶電粒子進(jìn)入磁場后做圓周運動的圓心點的集合為一拋物線（提示：寫出圓心點坐標(biāo)x、y的函數(shù)關(guān)系）

Answer 1

（1）帶電粒子在第三象限做勻加速直線運動，進(jìn)入第一象限的速度為v₁，設(shè)粒子出發(fā)點坐標(biāo)為（-L，L），則
    qEL=

1

2

mv₁²
得v₁=4×10⁵m/s         
粒子在第一象限做類平拋運動：y=

1

2

at²=L  
    x=v₁t       
得x=2L=0.04m             
（2）粒子做類平拋運動，則v_x=v₁=4×10⁵m/s，v_y=at=4×10⁵m/s   
設(shè)粒子進(jìn)入磁場時速度方向與x正方向的夾角為Φ，
則  tgΦ=

vy

vx

=1    
解得  Φ=45°
粒子進(jìn)入磁場時的速度為
 v₂=

vx2+vy2

=4

2

×10⁵ m/s   
（3）L取任意時均有：x=2L，Φ=45°            
v=

2

v1=2

qEL m

粒子在磁場中做勻速運動時，qvB=m

v2

R

代入數(shù)據(jù)得：R=

L

所以圓心的坐標(biāo)為：
  x=2L-

2

2

R，y=-

2

2

R
R=

L

代入并消去L，得
  x=4y²+y                       
此方程為一拋物線方程
答：（1）當(dāng)L=2cm時，粒子進(jìn)入磁場時與x軸交點的橫坐標(biāo)是0.04m．
（2）當(dāng)L=2cm時，粒子進(jìn)入磁場時速度的大小是4

2

×10⁵ m/s，方向與x正方向的夾角為45°．
（3）證明如上．