Question

1．若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度和緯度近似取為98°和北緯α=40°，已知地球半徑R、地球自轉(zhuǎn)周期T、地球表面重力加速度g（視為常量）和光速c．試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時(shí)間（要求用題給的已知量的符號表示）．

Answer 1

分析 微波信號傳播速度等于光速c，求時(shí)間須先求出衛(wèi)星與嘉峪關(guān)的距離．綜合運(yùn)用同步衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)關(guān)系和$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$，解出衛(wèi)星距地心距離，再結(jié)合地球知識，作出相應(yīng)的幾何圖形，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求出衛(wèi)星到嘉峪關(guān)的距離．

解答 解：設(shè)m為衛(wèi)星質(zhì)量，M為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星到地球中心的距離，ω為衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，由萬有引力定律和牛頓定律有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$…①
$ω=\frac{2π}{T}$…②
因$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$…③
設(shè)嘉峪關(guān)到同步衛(wèi)星的距離為L，如圖所示，由余弦定理有：
$L=\sqrt{{r}_{\;}^{2}+{R}_{\;}^{2}-2rRcosα}$…④
所求時(shí)間為：$t=\frac{L}{c}$（5）
由以上各式得：$t=\frac{\sqrt{（\frac{{R}_{\;}^{2}g{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{2}{3}}+{R}_{\;}^{2}-2R（\frac{{R}_{\;}^{2}g{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}cosα}}{c}$
答：該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時(shí)間為$\frac{\sqrt{（\frac{{R}_{\;}^{2}g{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{2}{3}}+{R}_{\;}^{2}-2R（\frac{{R}_{\;}^{2}g{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}cosα}}{c}$

點(diǎn)評 解決本題關(guān)鍵要掌握同步衛(wèi)星的條件，分析向心力的來源，運(yùn)用萬有引力定律、牛頓第二定律和幾何關(guān)系等等結(jié)合進(jìn)行求解