Question

8．要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，使它在半徑為r₂的預定軌道上繞地球做勻速圓周運動，為此先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r₁的近地暫行軌道上繞地球做勻速圓周運動．如圖所示，在A點，使衛(wèi)星速度瞬時增加，從而使衛(wèi)星進入一個橢圓的轉移軌道上，當衛(wèi)星到達轉移軌道的遠地點B時，再次瞬時改變衛(wèi)星速度，使它進入預定軌道運行．已知地球表面的重力加速度大小為g，地球的半徑為R，則衛(wèi)星在半徑為r₁的近地暫行軌道上的運動周期為$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{GM}}$，衛(wèi)星從半徑為r₁的近地暫行軌道上的A點轉移到半徑為r₂的預定軌道上的B點所需時間為$\frac{π（{r}_{1}+{r}_{2}）}{2R}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2g}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力求解．
（2）根據(jù)衛(wèi)星的運動圖形和幾何關系，確定出橢圓軌道的半長軸a，再利用開普勒第三定律求解．

解答 解：（1）衛(wèi)星在近地暫行軌道上運行所需要的向心力由萬有引力提供$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$，得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{GM}}$
在地球表面上的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g
所以$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{R}^{2}g}}$=$\frac{2π{r}_{1}}{R}\sqrt{\frac{{r}_{1}}{g}}$
（2）設衛(wèi)星預定軌道半徑為r，當衛(wèi)星在轉移軌道運行，其半長軸為：a=$\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}$
    根據(jù)開普勒第三定律得：$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{a}^{3}}{（2t）^{2}}$
化簡得$（2t）^{2}=（\frac{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}}{{r}_{1}}）^{3}T$
解得：$t=\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{4{r}_{1}}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2{r}_{1}}}•T$
代入T值，得$t=\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{4{r}_{1}}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2{r}_{1}}}•\frac{2π{r}_{1}}{R}\sqrt{\frac{{r}_{1}}{g}}$=$\frac{π（{r}_{1}+{r}_{2}）}{2R}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2g}}$
故答案為：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{GM}}$；$\frac{π（{r}_{1}+{r}_{2}）}{2R}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2g}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力兩知識點，以及會用開普勒第三定律解題．