Question

14．如圖，光滑固定的$\frac{1}{4}$圓形軌道ACB的半徑r=1.8m，A點(diǎn)與圓心O等高，軌道底端與圓心在同一豎直線上，C點(diǎn)離B點(diǎn)的豎直高度為h=0.8m，質(zhì)量m=1kg物塊從軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放，滑過B點(diǎn)后進(jìn)入足夠長的水平傳送帶，傳動帶由電動機(jī)驅(qū)動按圖示方向運(yùn)轉(zhuǎn)，物塊第一次返回到圓弧上恰能到達(dá)C點(diǎn)，不計(jì)物塊通諾軌道與傳送帶交界處動能損失，物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，g取10m/s²，求物塊：
（1）下滑到B點(diǎn)時(shí)，軌道對物塊支持力的大��；
（2）在傳送帶上向右滑行的最大距離；
（3）第一次從傳送帶上往返B點(diǎn)時(shí)的速度；
（4）在傳動帶上第一次往返的過程中，與傳送帶間產(chǎn)生的熱能．

Answer 1

分析 （1）由動能定理可求得物塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)向心力公式可求得物體在B點(diǎn)時(shí)的支持力．
（2）由動能定理求物體向右滑行的最大距離．
（3）在傳送帶上物體先向右勻減速，再向左勻加速，由速度公式求出勻加速運(yùn)動的時(shí)間，由位移公式求出此過程的位移，判斷物體的運(yùn)動狀態(tài)，得到物體第一次回到B點(diǎn)的速度．
（4）求出物體在傳動帶上第一次往返的過程中與傳送帶的相對位移大小，再乘以滑動摩擦力，即可得到熱量．

解答 解：（1）設(shè)物體經(jīng)過B點(diǎn)的速度為v_B，已知圓弧半徑為r=1.8m，由動能定理得：
   mgr=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0
則 v_B=$\sqrt{2gr}$=$\sqrt{2×10×1.8}$m/s=6m/s
在B點(diǎn)，對物塊由向心力公式得
  N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$   
則N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$=1×10+1×$\frac{{6}^{2}}{1.8}$=30N
（2）由動能定理得：-μmgS=0-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
則物體向右滑行的最大距離 S=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2μg}$=$\frac{{6}^{2}}{2×0.2×10}$m=9m
（3）物體返回時(shí)恰好能回到C點(diǎn)，設(shè)傳送帶速度為v，又v_c=0
由動能定理得
-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv²
則 v=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s，即第一次從傳送帶上往返B點(diǎn)時(shí)的速度是4m/s
（4）物體設(shè)物體向右勻減速的時(shí)間為t₁，加速度大小 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²
則t₁=$\frac{{v}_{B}}{a}$=3s，此過程傳送帶的位移 x₁=vt₁=12m
此過程產(chǎn)生熱能 Q₁=μmg（S+x₁）=0.2×1×10×（9+12）J=42J
設(shè)物體向左勻加速的時(shí)間為t₂，加速的位移為x₂，加速度 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²
則t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{4}{2}$=2s，x₂=$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$m=4m
此過程傳送帶的位移 x_帶=vt₂=8m
此過程產(chǎn)生熱能 Q₂=μmg（x_帶-x₂）=0.2×1×10×（8-4）J=8J
故在傳動帶上第一次往返的過程中，與傳送帶間產(chǎn)生的熱能 Q=Q₁+Q₂=50J
答：
（1）下滑到B點(diǎn)時(shí)，軌道對物塊支持力的大小是30N；
（2）在傳送帶上向右滑行的最大距離是9m；
（3）第一次從傳送帶上往返B點(diǎn)時(shí)的速度是4m/s；
（4）在傳動帶上第一次往返的過程中，與傳送帶間產(chǎn)生的熱能是50J．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵要正確分析物體的受力情況，判斷其運(yùn)動情況，分析清楚運(yùn)動過程，再根據(jù)運(yùn)動學(xué)規(guī)律求解即可．要注意當(dāng)物體與傳送帶相向運(yùn)動時(shí)相對位移等于兩者對地位移之和，同向運(yùn)動時(shí)相對位移等于兩者位移之差．