Question

9．偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道運行，它的運行軌道距地面高度為h，已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，求：
（1）地球的質(zhì)量？
（2）偵察衛(wèi)星運行的周期？
（3）要使衛(wèi)星在一天的時間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力求出地球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑求出偵察衛(wèi)星的運行周期．
（3）根據(jù)衛(wèi)星的周期求出一天內(nèi)經(jīng)過赤道的次數(shù)，結(jié)合衛(wèi)星經(jīng)過赤道上空的次數(shù)，求出衛(wèi)星上的攝像機至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長．

解答 解：（1）由題意可知在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下有$G\frac{Mm}{R^2}=mg$    ①
解得$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$    ②
（2）由偵察衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運動，由F_萬=F_向
得$G\frac{Mm}{{{{（{R+h}）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{{{T^'}^2}}（R+h）$     ③
由①③聯(lián)立解得$T'=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{{g{R^2}}}}$     ④
（3）由題可知衛(wèi)星一天內(nèi)經(jīng)過赤道的次數(shù)為n，則
n=$\frac{T}{T'}$     ⑤
所以，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長為L
L=$\frac{2πR}{n}$    ⑥
由④⑤⑥聯(lián)立可解得L=$\frac{{4{π^2}}}{T}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$
答：（1）地球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）偵察衛(wèi)星運行的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g}}$；
（3）衛(wèi)星上的攝像機至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長是$\frac{{4{π^2}}}{T}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．