Question

2．如甲圖所示，水平光滑地面上用兩顆釘子（質(zhì)量忽略不計(jì)）固定停放著一輛質(zhì)量為M=2kg的小車，小車的四分之一圓弧軌道是光滑的，半徑為R=0.6m，在最低點(diǎn)B與水平軌道BC相切，視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=1kg的物塊從A點(diǎn)正上方距A點(diǎn)高為h=1.2m處無初速下落，恰好落入小車圓弧軌道滑動(dòng)，然后沿水平軌道滑行恰好停在軌道末端C．現(xiàn)去掉釘子（水平面依然光滑未被破壞）不固定小車，而讓其左側(cè)靠在豎直墻壁上，該物塊仍從原高度處無初速下落，如乙圖所示．不考慮空氣阻力和物塊落入圓弧軌道時(shí)的能量損失，已知物塊與水平軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，重力加速度g取10m/s²，求：

（1）水平軌道BC長(zhǎng)度；
（2）小車不固定時(shí)物塊再次與小車相對(duì)靜止時(shí)距小車B點(diǎn)的距離；
（3）兩種情況下由于摩擦系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量之比．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)小車固定時(shí)，重力與摩擦力對(duì)物體做功，由動(dòng)能定理即可求出BC的長(zhǎng)度；
（2）物塊到達(dá)B之前機(jī)械能守恒，由此求出到達(dá)B的速度；之后小車與物塊組成的系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量守恒，由此求出共同速度，由功能關(guān)系求出物塊相對(duì)于小車的位移；
（3）根據(jù)功能關(guān)系即可求出兩種情況下由于摩擦系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量之比．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理可得：mg（h+R）-μmgx=0-0，
代入數(shù)據(jù)解得：x=18 m．
（2）到達(dá)B點(diǎn)前小車不動(dòng)，對(duì)物塊有：$mg（h+R）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得：v_B=6m/s
之后小車勻加速，物塊勻減速，二者在水平方向的動(dòng)量守恒，選擇向右為正方向，則最終二者速度相同時(shí)：
mv_B=（M+m）v
得：v=$\frac{m{v}_{B}}{m+M}=\frac{1×6}{1+2}=2$m/s
系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，則：${Q}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{6}^{2}-\frac{1}{2}×（2+1）×{2}^{2}=12$J
又：Q₂=f•s_相對(duì)=μmg•s_相對(duì)
所以：${s}_{相對(duì)}=\frac{{Q}_{2}}{μmg}=\frac{12}{0.1×1×10}=12$m
即物塊相對(duì)與B點(diǎn)的距離是12m
（3）小車固定時(shí)摩擦系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量：Q₁=μmgx=0.1×1×10×18=18J，小車不固定時(shí)摩擦系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量Q₂=12J
所以：兩種情況下由于摩擦系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量之比$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$
答：（1）水平軌道BC長(zhǎng)度是18m；
（2）小車不固定時(shí)物塊再次與小車相對(duì)靜止時(shí)距小車B點(diǎn)的距離是12m；
（3）兩種情況下由于摩擦系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量之比是3：2．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于碰撞模型，考查了求速度、長(zhǎng)度、沖量問題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量定理即可正確解題．