Question

4．在如圖所示的直角坐標系中，笫二象限有沿y軸負方向的勻強電場E₁，第三象限存在沿x正方向的勻強電場E₂，笫四象限中有一固定的點電荷．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的帶電粒子由笫二象限中的A點（-a，b）靜止釋放（不計重力），粒子到達y軸上的B點時，其速度方向和y軸負方向的夾角為45°，粒子在第四象限中恰好做勻速圓周運動，經(jīng)過x軸上的C點時，其速度方向與x軸負方向的夾角為60°，求：
（1）該帶電粒子剛進入笫三象限時的速度；
（2）帶電粒子在第三象限運動的時間；
（3）勻強電場場強度E₁、E₂之比；
（4）點電荷的位置坐標．

Answer 1

分析 （1）粒子在第二象限內(nèi)做初速度為零的勻加速直線運動，由勻變速直線運動的速度位移公式求出粒子的速度；
（2）（3）粒子在第二象限在電場力作用下向下做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合求出電場強度E₁與末速度、b、比荷等量的關(guān)系式；進入第三象限做類平拋運動，運用運動的分解法研究，由牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合求出電場強度E₂與初速度、b、比荷等量的關(guān)系式，即可求出E₁和E₂之比，求出運動時間；
（4）粒子在第四象限中做勻速圓周運動，由幾何關(guān)系求點電荷的位置坐標．

解答 解：（1）設(shè)粒子在第二象限中的運動時間為t₁，進入第三象限時的速度為v₀，
由勻變速直線運動的速度位移公式得：v₀²=2$\frac{q{E}_{1}}{m}$b，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{E}_{1}b}{m}}$；
（2）（3）設(shè)粒子在第二象限中的運動時間為t₁，進入第三象限時的速度為v₀，有：
b=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₁²，
b=$\frac{1}{2}$v₀t₁，
設(shè)粒子在第三象限中的運動時間為t₂，在B點速度為v，x軸方向的分速度為v_x，則：
v=$\sqrt{2}$v₀，
v_x=v₀，
a=$\frac{1}{2}$a′t₂²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{2}}{m}$t₂²，
a=$\frac{1}{2}$v_xt₂，
由以上各式得：$\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}$=$\frac{a}$，t₂=$\frac{2a}{{v}_{0}}$=$\frac{2a}{{v}_{0}}$=a$\sqrt{\frac{2m}{q{E}_{1}b}}$；
（3）設(shè)O、B的間距為l，粒子做圓周運動的半徑為r，
則：l=v₀t₂=2a，l=rcos45°+rsin30°，
解得：r=4a（$\sqrt{2}$-1），
所以點電荷的位置坐標：x_D=rsin45°=2a（2-$\sqrt{2}$），y₀=-（l-rcos45°）=4a（1-$\sqrt{2}$）；
答：（1）該帶電粒子剛進入笫三象限時的速度為$\sqrt{\frac{2q{E}_{1}b}{m}}$；
（2）帶電粒子在第三象限運動的時間為a$\sqrt{\frac{2m}{q{E}_{1}b}}$；
（3）E₁和E₂之比是a：b；
（4）點電荷的位置坐標為[2a（2-$\sqrt{2}$），4a（1-$\sqrt{2}$）]．

點評 本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，對于直線加速運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合研究；對于類平拋運動，要熟練運用運動的分解處理；對于勻速圓周運動，畫軌跡是基本方法．