Question

15．如圖所示，小球A以初速v₀沿光滑平臺向右運(yùn)動，豎直靜止懸掛的小球B，恰好與平臺右端接觸．一水平放置、半徑R=0.5m的薄壁圓桶繞軸OO′勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度ω=5πrad/s，桶壁上離左端s=0.2m處開有一長度d=0.8m的長孔，孔寬略大于小球A的直徑．圓桶左端和平臺右端平齊，頂端距平臺h=0.8m．若A、B兩球發(fā)生彈性正碰時（碰撞時間極短），長孔恰好運(yùn)動到桶的正上方，碰后B上擺，A沿水平方向拋射向長孔．已知v₀方向、懸線和圓桶的軸線在同一豎直面上，小球B的質(zhì)量為m，A的質(zhì)量是B的k倍，懸線長L=0.8m，視兩球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，g=10m/s²，不考慮空氣阻力．
（1）若k=2，碰后B剛好能擺到與懸點(diǎn)同一高度，試求初速v₀的大��；
（2）試通過計算，判斷（1）情形中小球A是否會和圓桶碰撞；
（3）若v₀�。�1）中數(shù)值，小球A落入孔中且不會與桶壁發(fā)生碰撞，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒求出碰后B的速度，根據(jù)動量守恒和能量守恒求出碰撞前A的初速度．
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律，結(jié)合圓筒的周期分析小球A是否會和圓筒相碰．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動的水平位移，抓住小球A不與長孔左邊相碰，以及小球A不與長孔右邊相碰，結(jié)合動量守恒和能量守恒的表達(dá)式求出k的范圍．

解答 解：（1）小球A與B發(fā)生彈性正碰，根據(jù)動量守恒定律：
m_Av₀=m_Av_A+m_Bv_B               ①
碰撞過程無動能損失：
$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$          ②
其中m_A=km_B，
碰后小球B上擺過程，由機(jī)械能守恒定律：
$\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}={m}_{B}gL$                    ③
以上三式聯(lián)立，代入數(shù)值得：v₀=3m/s        
v_B=4m/s
v_A=1m/s
（2）碰后小球A做平拋運(yùn)動，設(shè)下落至圓桶頂端的時間為t₁，下落至底端的時間為t₂，有：
$h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$                          ④
h+2R=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$                     ⑤
解得：t₁=0.4s    t₂=0.6s
i）圓桶轉(zhuǎn)動的周期$T=\frac{2π}{ω}$=0.4s，說明小球A下落至圓桶頂端時，長孔恰好又處于圓桶的正上方．此時小球A的水平位移x₁=v_At₁=0.4m，s＜x₁＜s+d，說明小球恰好能夠落入長孔，不與桶壁相碰．                                  
ii）小球A在桶內(nèi)下落的時間△t=t₂-t₁=0.2s=$\frac{T}{2}$，說明小球A下落至圓桶底端時，長孔又恰好又處于圓桶的正下方．
此時小球A的水平位移x₂=v_At₂=0.6m，s＜x₂＜s+d，說明小球A恰好能夠穿出長孔，不與桶壁相碰．                             
（3）由（2）中分析知，小球A不與長孔左邊相碰的條件為：
v_At₁≥s                       ⑥
小球A不與長孔右邊相碰的條件為：
v_At₂≤s+d                    ⑦
由①②式可得，${v}_{A}=\frac{k-1}{k+1}{v}_{0}$       ⑧
⑥～⑧式聯(lián)立，得1.4≤k≤3.5．
答：（1）初速v₀的大小為3m/s；
（2）小球A是不會和圓桶碰撞；
（3）k的取值范圍為1.4≤k≤3.5．

點(diǎn)評 本題考查了動量守恒定律、機(jī)械能守恒定律和能量守恒定律與平拋運(yùn)動的綜合運(yùn)用，難度較大，對學(xué)生的能力要求較高，尤其第三問，需結(jié)合水平位移的范圍分析判斷．