Question

4．如圖，豎直平面內的$\frac{3}{4}$圓弧形光滑軌道半徑為R，C端與圓心O等高，D端在O的正上方，BE為與水平方向成θ角的光滑斜面，B點在C端的正上方．一個可看成質點的小球從距地面H=$\frac{8}{3}$R處的A點由靜止開始釋放，自由下落至C點后進入圓弧形軌道，過D點后恰好從斜面BE的B點滑上斜面（無碰撞現象）．
（1）求過D點時小球對軌道的作用力；
（2）求斜面的傾斜角θ；
（3）若斜面傾角變?yōu)?5°，且BE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$R，欲使小球能落在斜面BE上的E點．求釋放點A到地面的豎直高度h．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出小球到達D點的速度，然后應用牛頓第二定律求出小球與軌道間的作用力．
（2）小球從D到B點做平拋運動，運用速度的分解和平拋運動的規(guī)律，求出斜面的傾角．
（3）小球從D平拋飛至E點，由平拋運動的規(guī)律求出小球經過D點時的速度，即可由機械守恒定律求出h．

解答 解：（1）小球從A運動到D過程由動能定理得：
mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv_D²-0，代入數據解得：v_D=$\sqrt{\frac{4gR}{3}}$，
在D點，由牛頓第二定律得：F+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，
代入數據解得：F=$\frac{1}{3}$mg；
（2）過D點后恰好從斜面BE的B點滑上斜面，則到B點時，速度方向與水平方向的夾角為θ，
小球從D點做平拋運動，到達B點時，水平位移為R，則運動時間t=$\frac{R}{{v}_{D}}=\sqrt{\frac{3R}{4g}}$，
則豎直方向速度${v}_{y}=gt=\sqrt{\frac{3}{4}gR}$，
則有：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}=\frac{3}{4}$
所以θ=37°
（3）小球落到E點時，D與E高度為h′=2R
則做平拋運動的時間$t′=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
水平位移x=R+$\overline{BE}sin45°$=$\frac{5}{2}R$
而從D點拋出的速度${v}_{D}′=\frac{x}{t}$
聯立解得：${v}_{D}′=\frac{5}{4}\sqrt{gR}$
小球從A運動到D過程由動能定理得：
mg（H′-2R）=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}{′}^{2}$-0，
代入數據解得
$H′=\frac{89}{32}R$
答：（1）過D點時小球對軌道的作用力是$\frac{1}{3}$mg；
（2）斜面的傾斜角θ為37°；
（3）釋放點A到地面的豎直高度為$\frac{89}{32}R$．

點評 本題是機械能守恒定律、牛頓第二定律和平拋運動的綜合，關鍵是把握每個過程的物理規(guī)律，知道平拋運動水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，難度適中．