Question

10．如圖所示，一半徑為R的剛性光滑球體靜止放置，質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性繩水平套在球體上，已知繩環(huán)原長時的半徑為a=$\frac{R}{2}$，套在球體上時繩環(huán)的半徑變?yōu)閎=$\sqrt{2}$a，假設(shè)彈性繩滿足胡克定律，求此彈性繩的勁度系數(shù)k．

Answer 1

分析 在彈性繩上取一微元，得出這一微元的質(zhì)量以及該微元受到彈性繩兩端拉力的合力，對該微元受力分析，根據(jù)共點力平衡求出彈力的大小，結(jié)合胡克定律求出彈性繩的勁度系數(shù)．

解答 解：在彈性繩上取一小段微元△m，該微元所對應的圓心角為△θ，微元△m的長度為b△θ，則$△m=\frac{M}{2πb}b△θ=\frac{M}{2π}△θ$，
微元兩端受到彈性繩的合力為$2F•\frac{△θ}{2}$．
x=2π（b-a），a=$\frac{R}{2}$，b=$\sqrt{2}a=\frac{\sqrt{2}R}{2}$，根據(jù)幾何關(guān)系知，支持力與水平方向的夾角為45°，
根據(jù)共點力平衡有：$2F\frac{△θ}{2}=△mg=\frac{M}{2π}△θ$g，
解得彈性繩的彈力F=$\frac{Mg}{2π}$，
根據(jù)胡克定律得，F(xiàn)=kx=k•2π（b-a），解得k=$\frac{\sqrt{2}+1}{2{π}^{2}}（\frac{Mg}{R}）$．
答：彈性繩的勁度系數(shù)為$\frac{\sqrt{2}+1}{2{π}^{2}}（\frac{Mg}{R}）$．

點評 本題考查了共點力平衡和胡克定律的綜合運用，難度較大，難點在于通過微元法進行求解，需注意該微元兩端都受到彈性繩的彈力，本題對數(shù)學幾何能力的要求也較高．