Question

16．如圖所示，長為L，內(nèi)壁光滑的直管　與水平地面成30°角固定放置，將一質(zhì)量為m的小球固定在管底，用一輕質(zhì)光滑細線將小球與質(zhì)量為M=km（k＞2）的小物塊相連，小物塊懸掛于管口，現(xiàn)將小球釋放，一段時間后，小物塊落地靜止不動，小球繼續(xù)向上運動，通過管口的轉(zhuǎn)向裝置后做平拋運動，小球的轉(zhuǎn)向過程中速率不變．（重力加速度為g）
（1）求小物塊下落過程中的加速度大小；
（2）求小球從管口拋出時的速度大小；
（3）試證明小球平拋運動的水平位移總小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$L．

Answer 1

分析 （1）開始時小球沿斜面向上做勻加速，小物塊向下也做勻加速，兩者的加速度大小相等．對各自受力分析，運用牛頓第二定律列出等式，解出方程即可；
（2）小物塊落地靜止不動，小球繼續(xù)向上做勻減速運動，對其受力分析，運用牛頓第二定律解出此時的加速度（與前一階段加速度不等），結(jié)合運動學公式求出小球從管口拋出時的速度大��；
（3）運用平拋運動的規(guī)律表示出小球平拋運動的水平位移，利用數(shù)學知識證明問題．

解答 解：（1）設(shè)細線中的張力為T，根據(jù)牛頓第二定律，有：
Mg-T=Ma
T-mgsin30°=ma
且M=km
解得：$a=\frac{2k-1}{2（k+1）}g$
（2）設(shè)M落地時的速度大小為v，m射出管口時速度大小為v₀，M落地后m的加速度為a₀．
根據(jù)牛頓第二定律，有：
-mgsin30°=ma₀
勻加速直線運動過程，有：
v²=2aLsin30°
勻減速直線運動過程，有：
${{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}=2{a}_{0}L（1-sin3{0°}^{\;}）$
解得：
${v_0}=\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}gL}$（k＞2）
（3）平拋運動過程：
x=v₀t
$Lsin3{0°}^{\;}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：$x=L\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}}$
因為$\frac{k-2}{k+1}＜1$，所以$x＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$，得證．  
答：（1）小物塊下落過程中的加速度大小為$\frac{2k-1}{2（k+1）}g$；
（2）小球從管口拋出時的速度大小為$\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}gL}$（k＞2）；
（3）小球平拋運動的水平位移總小于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$，證明如上．

點評 本題本題考查牛頓第二定律，勻加速運動的公式及平拋運動規(guī)律；要注意第（2）問中要分M落地前和落地后兩段計算，因為兩段的m加速度不相等；第（3）問中，因為$\frac{k-2}{k+1}＜1$，所以x=L$\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}L$．