Question

1．如圖1所示，兩根間距為L的金屬導(dǎo)軌MN和PQ，電阻不計(jì)，左端向上彎曲，其余水平，水平導(dǎo)軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場I，右端有另一磁場II，其寬度也為d，但方向豎直向下，磁場的磁感強(qiáng)度大小均為B．有兩根質(zhì)量均為m、電阻均為R的金屬棒a和b與導(dǎo)軌垂直放置，b棒置于磁場II中點(diǎn)C、D處，導(dǎo)軌除C、D兩處（對應(yīng)的距離極短）外其余均光滑，兩處對棒可產(chǎn)生總的最大靜摩擦力為棒重力的K倍，a棒從彎曲導(dǎo)軌某處由靜止釋放．

（1）若a棒釋放的高度大于h₀，則a棒進(jìn)入磁場I時(shí)會使b棒運(yùn)動(dòng)，判斷b 棒的運(yùn)動(dòng)方向并求出h₀．
（2）若將a棒從高度小于h₀的某處釋放，使其以速度v₀進(jìn)入磁場I，結(jié)果a棒以$\frac{{v}_{0}}{2}$的速度從磁場I中穿出，求在a棒穿過磁場I過程中通過b棒的電量q
（3）若將a棒從高度大于h₀的某處釋放，使其以速度v₁進(jìn)入磁場I，經(jīng)過時(shí)間t₁后a棒從磁場I穿出時(shí)的速度大小為$\frac{2{v}_{1}}{3}$，求此時(shí)b棒的速度大小，在如圖2坐標(biāo)中大致畫出t₁時(shí)間內(nèi)兩棒的速度大小隨時(shí)間的變化圖象，并求出此時(shí)b棒的位置．

Answer 1

分析 （1）a棒從h₀高處釋放后在彎曲導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒求得速度，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求得電動(dòng)勢，在求出安培力．
（2）流過電阻R的電量q=$\overline{I}$△t，$\overline{I}$是感應(yīng)電流的平均值，$\overline{I}$可根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律得到．
（3）由于a棒從高度大于h₀處釋放，因此當(dāng)a棒進(jìn)入磁場I后，b棒開始向左運(yùn)動(dòng)．由于每時(shí)每刻流過兩棒的電流強(qiáng)度大小相等，兩磁場的磁感強(qiáng)度大小也相等，所以兩棒在各自磁場中都做變加速運(yùn)動(dòng)，且每時(shí)每刻兩棒的加速度大小均相同．

解答 解：（1）根據(jù)左手定則判斷知b棒向左運(yùn)動(dòng)．
a棒從h₀高處釋放后在彎曲導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒，有
  mgh₀=$\frac{1}{2}$mv²
得 v=$\sqrt{2g{h}_{0}}$
a棒剛進(jìn)入磁場I時(shí) E=BLv
此時(shí)感應(yīng)電流大小 I=$\frac{E}{2R}$
此時(shí)b棒受到的安培力大小 F=BIL
依題意，有 F=Kmg
聯(lián)立可得 h₀=$\frac{2{K}^{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
（2）由于a棒從小于進(jìn)入h₀釋放，因此b棒在兩棒相碰前將保持靜止．
流過電阻R的電量 q=$\overline{I}$△t
又$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{{R}_{總}}$，$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{BLd}{△t}$
所以在a棒穿過磁場I的過程中，通過電阻R的電量
  q=$\frac{BLd}{2R}$
（3）由于a棒從高度大于h₀處釋放，因此當(dāng)a棒進(jìn)入磁場I后，b棒開始向左運(yùn)動(dòng)．由于每時(shí)每刻流過兩棒的電流強(qiáng)度大小相等，兩磁場的磁感強(qiáng)度大小也相等，所以兩棒在各自磁場中都做變加速運(yùn)動(dòng)，且每時(shí)每刻兩棒的加速度大小均相同，所以當(dāng)a棒在t₁時(shí)間內(nèi)速度改變 $（{v}_{1}-\frac{2}{3}{v}_{1}）$=$\frac{1}{3}{v}_{1}$時(shí)，b棒速度大小也相應(yīng)改變了$\frac{1}{3}{v}_{1}$，即此時(shí)b棒速度大小為$\frac{1}{3}{v}_{1}$．
兩棒的速度大小隨時(shí)間的變化圖象大致如右圖所示：
通過圖象分析可知，在t₁時(shí)間內(nèi)，兩棒運(yùn)動(dòng)距離之和為v₁t₁，所以在t₁時(shí)間內(nèi)b棒向左運(yùn)動(dòng)的距離為△S=（v₁t₁-d），距離磁場Ⅱ左邊界距離為
△L=$\frac2aige4w{2}$-△S=$\fracigogeka{2}$-（v₁t₁-d）=$\frac{3d}{2}$-v₁t₁
答：（1）b 棒的運(yùn)動(dòng)方向向左，h₀為$\frac{2{K}^{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．
（2）在a棒穿過磁場I的過程中，通過電阻R的電量為$\frac{BLd}{2R}$．
（3）畫出t₁時(shí)間內(nèi)兩棒的速度大小隨時(shí)間的變化圖象如圖，此時(shí)b棒的位置距離磁場Ⅱ左邊界距離為$\frac{3d}{2}$-v₁t₁．

點(diǎn)評 本題是雙桿問題，一要正確分析兩棒的運(yùn)動(dòng)情況，把握兩棒之間的關(guān)系，如感應(yīng)電流關(guān)系、安培力關(guān)系等；二要能根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律求出感應(yīng)電量，q=n$\frac{△Φ}{{R}_{總}}$是常用的結(jié)論，要在會推導(dǎo)的基礎(chǔ)上記�。�