Question

6．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第Ⅰ象限內(nèi)有沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，第Ⅳ內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子從y軸上的P點(diǎn)沿x軸正向進(jìn)入電場(chǎng)，粒子從x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．已知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（L，0），不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用．
（1）若粒子在Q點(diǎn)的速度方向與x軸成30°角，求P、Q兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；
（2）若從y軸正半軸各點(diǎn)依次向x軸正向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為+q的速度大小適當(dāng)粒子，它們經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都通過(guò)Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，其中某個(gè)粒子A到達(dá)Q點(diǎn)的速度最�。�粒子A經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好垂直y軸射出了磁場(chǎng)．求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子從P到Q是類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求出y，根據(jù)U=Ed求電勢(shì)差；
（2）對(duì)類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式求解出末速度表達(dá)式討論最小速度大小和對(duì)應(yīng)的拋出點(diǎn)坐標(biāo)；粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑；然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度

解答 解：（1）粒子在Q點(diǎn)的速度方向與x軸成30°角，分解Q點(diǎn)的速度可得
v_y=v₀tan30°    
從P點(diǎn)到Q點(diǎn)：L=v₀t，y=$\frac{1}{2}$v_yt     
得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L
所以U_PQ=Ey=$\frac{\sqrt{3}}{6}$EL   
（2）設(shè)粒子A進(jìn)入電場(chǎng)的速度為v₁，它進(jìn)入電場(chǎng)后qE=ma   
L=v₁t，v_y=at，v_Q=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
得v_Q=$\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+（\frac{qEL}{m{v}_{1}}）^{2}}$      
由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)v₁=$\frac{qEL}{m{v}_{1}}$時(shí)，v_Q取最小值．
即v₁=$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$時(shí)，Q點(diǎn)的速度最小值為v_Q=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$  
此時(shí)v_y=v₁，粒子A在Q點(diǎn)的速度方向與x軸正向夾角為45°
所以粒子A進(jìn)入磁場(chǎng)后的偏轉(zhuǎn)半徑（如圖）

R=$\sqrt{2}$L  
由qvB=m$\frac{{{v}_{Q}}^{2}}{R}$得R=$\frac{m{v}_{Q}}{qB}$     
得B=$\sqrt{\frac{mE}{qL}}$     
答：（1）若粒子在Q點(diǎn)的速度方向與x軸成30°角，P、Q兩點(diǎn)間的電勢(shì)差$\frac{\sqrt{3}}{6}EL$；
（2）若從y軸正半軸各點(diǎn)依次向x軸正向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為+q的速度大小適當(dāng)粒子，它們經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都通過(guò)Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，其中某個(gè)粒子A到達(dá)Q點(diǎn)的速度最小．粒子A經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好垂直y軸射出了磁場(chǎng)．勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小$\sqrt{\frac{mE}{qL}}$

點(diǎn)評(píng) 題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)于第二問(wèn)，關(guān)鍵是根據(jù)類似平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解出速度表達(dá)式，運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式的知識(shí)確定最小速度的大小與方向，同時(shí)要結(jié)合牛頓第二定律、幾何關(guān)系列式分析，不難．