Question

8．如圖所示，在傾角為θ的固定光滑絕緣斜面上，有一勁度系數(shù)為k的長絕緣輕質(zhì)彈簧，其下端固定于斜面底端，上端與一質(zhì)量為m，帶正電的小球A相連，整個空間存在一平行于斜面向上的勻強磁場，小球A靜止時彈簧恰為原長．另一質(zhì)量也為m的不帶電的絕緣小球B從斜面上的P點由靜止開始下滑，與A發(fā)生碰撞后一起沿斜面向下運動，碰撞時間極短，且不粘連．在以后的運動過程中，A與B左所能達到的最高點恰未分開．全過程中小球A的電量不發(fā)生變化，彈簧形變始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g．求：
（1）A、B運動到最高點時彈簧的形變量．
（2）A、B運動過程中的最大速度．
（3）若B與A碰撞過程中系統(tǒng)損失的機械能為△E，求兩小球運動最低點與P點的距離．

Answer 1

分析 （1）由共點力的平衡條件求出電場力的大��；然后由物體分離的條件，結(jié)合對B的受力分析和B的加速度，求出A物體受到的合外力的大小，最后結(jié)合對A的受力分析即可求出最高點的位置與彈簧的形變量；
（2）A、B一起運動過程中合外力為零時，具有最大速度v_m，該過程中重力做正功而電場力做負功，由功能關系即可求出最大速度；
（3）B球下降的過程中機械能守恒，即可求出B與A碰撞前的速度；由于碰撞的時間短，碰撞可以近似看做是動量守恒，則可以求出碰撞后的速度；碰撞后兩球沒有分離，則一起做簡諧振動，由簡諧運動特點可知，兩球平衡位置在速度最大處，最高點與最低點到平衡位置的距離相等，因此即可求出兩小球運動最低點與點P的距離．

解答 解：（1）開始時 小球A靜止時彈簧恰為原長，則電場力的大小與重力沿斜面向下的分力相等，得：
qE=mgsinθ
由題意，A與B在所能到達的最高點恰未分開，說明二者的速度恰好都為0時，二者之間的相互作用力為0，加速度的大小也相等．
由于B只受到重力和支持力的作用，所以合外力：F_B=mgsinθ
B的加速度：${a}_{B}=\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ$
A受到重力、支持力、彈簧的彈力以及電場力的作用，沿斜面向下的方向：kx₁+mgsinθ-qE=ma
聯(lián)立以上公式，解得：${x}_{1}=\frac{mgsinθ}{k}$
（2）A、B一起運動過程中合外力為零時，具有最大速度v_m，設此時彈簧的壓縮量為x₂，則：2mgsinθ-qE-kx₂=0 得x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$
由于x₂=x₁，說明A速度最大的位置與兩個 小球在最高點的彈性勢能相等，對此過程由功能關系：（2mgsinθ-qE）（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}•$2mv_m²
得v_m=gsinθ$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
（3）設A、B初始距離為l₀，在與A碰撞前B的速度為v₀，由機械能守恒定律得：
mgl₀sinθ=$\frac{1}{2}$mv₀²
得v₀=$\sqrt{2g{l}_{0}sinθ}$  
B與A碰撞后共同速度為v₁，選取沿斜面向下為正方向，由動量守恒定律得：mv₀=2mv₁；
則：${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}=\sqrt{\frac{g{l}_{0}sinθ}{2}}$
B與A碰撞過程中損失的機械能為△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}•$2mv₁²=$\frac{1}{2}$mgl₀sinθ
由簡諧運動特點可知，兩球平衡位置在速度最大處，即運動最高點和平衡位置的距離：A=x₁+x₂=$\frac{2mgsinθ}{k}$
則最低點到P的距離為d=l₀+x₁+A=$\frac{2△E}{mgsinθ}+\frac{3mgsinθ}{k}$
答：（1）A、B運動到最高點時彈簧的形變量是$\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）A、B運動過程中的最大速度是$gsinθ\sqrt{\frac{2m}{k}}$；
（3）若B與A碰撞過程中系統(tǒng)損失的機械能為△E，兩小球運動最低點與點P的距離是$\frac{2△E}{mgsinθ}+\frac{3mgsinθ}{k}$．

點評 解決本題的關鍵知道滑塊的運動是向下先做加速度減小的加速運動，然后做加速度增大的減速運動，到達最低點時，速度為0．知道在最低點時彈簧的彈性勢能最大．在整個過程中，有動能、重力勢能、彈性勢能、電勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，當電勢能減小最多時，系統(tǒng)的機械能最大．