Question

10．如圖所示的滑輪，它可以繞垂直于紙面的光滑固定水平軸O轉動，輪上繞有輕質柔軟細線，
線的一端系一質量為3m的重物，另一端系一質量為m，電阻為r的金屬桿．在豎直平面內(nèi)有間距為L的足夠長的平行金屬導軌PQ、EF，在QF之間連接有阻值為R的電阻，其余電阻不計，磁感應強度為B₀的勻強磁場與導軌平面垂直，開始時金屬桿置于導軌下端QF處，將重物由靜止釋放，當重物下降h時恰好達到穩(wěn)定速度而勻速下降．運動過程中金屬桿始終與導軌垂直且接觸良好，忽略所有摩擦，求：
（1）重物勻速下降的速度v；
（2）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）若將重物下降h時的時刻記作t=0時，從此時刻起，磁感應強度B逐漸減小，若此后金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應電流，則磁感應強度B怎樣隨時間t變化（寫出B與t的關系式）．

Answer 1

分析 （1）重物勻速下降時，金屬桿勻速上升，受力平衡．推導出安培力，由平衡條件列式求出速度v．
（2）重物從釋放到下降h的過程中，重物的重力勢能減小轉化為桿的重力勢能和動能、重物的動能及整個回路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出整個回路產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)串聯(lián)電路電流關系，求出電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）當回路中總磁通量不變時，金屬棒中不產(chǎn)生感應電流，此時棒將導軌做勻加速運動．根據(jù)磁通量不變，列式求B與t的關系式．

解答 解：（1）對金屬棒，受到重力mg、向下的安培力F和向上的拉力T，由平衡條件有：
   T=mg+F
式中：T=3mg，F(xiàn)=B₀IL=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
所以：v=$\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$
（2）設電路中產(chǎn)生的總焦耳熱為Q，則有能量守恒關系得：
減少的重力勢能等于增加的動能和焦耳熱Q
即：3mgh=mgh+$\frac{1}{2}（3m）{v}^{2}$+Q_總
電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱 Q_R=$\frac{R}{R+r}{Q}_{總}$
所以：電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R為  Q_R=$\frac{2mghR}{R+r}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$
（3）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應電流
即磁通量不變 Φ₀=Φ_t，即
  B₀Lh=B_tL（h+vt+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$）
又：a=$\frac{3mg-mg}{4m}$=0.5g
則磁感應強度B怎樣隨時間t變化為 B_t=$\frac{{B}_{0}h}{\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}t+\frac{1}{4}g{t}^{2}+h}$
答：
（1）重物勻速下降的速度v是$\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R是$\frac{2mghR}{R+r}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$．
（3）磁感應強度B怎樣隨時間t變化為 B_t=$\frac{{B}_{0}h}{\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}t+\frac{1}{4}g{t}^{2}+h}$．

點評 本題分別從力和能量兩個角度研究電磁感應現(xiàn)象，關鍵是計算安培力和分析能量如何變化，以及把握沒有感應電流產(chǎn)生的條件：磁通量不變．