Question

2．如圖所示，質量為m的足夠長的“[”金屬導軌abcd放在傾角為θ的光滑絕緣斜面上，bc段電阻為R，其余段電阻不計．另一電阻為R、質量為m的導體棒PQ放置在導軌上，始終與導軌接觸良好，PbcQ構成矩形．棒與導軌間動摩擦因數(shù)為μ，棒左側有兩個固定于斜面的光滑立柱．導軌bc段長為L，以ef為界，其左側勻強磁場垂直斜面向上，右側勻強磁場方向沿斜面向上，磁感應強度大小均為B．在t=0時，一沿斜面方向的作用力F垂直作用在導軌的bc邊上，使導軌由靜止開始沿斜面向下做勻加速直線運動，加速度為a．
（1）請通過計算證明開始一段時間內(nèi)PQ中的電流隨時間均勻增大．
（2）求在電流隨時間均勻增大的時間內(nèi)棒PQ橫截面內(nèi)通過的電量q和導軌機械能的變化量△E．
（3）請在F-t圖上定性地畫出電流隨時間均勻增大的過程中作用力F隨時間t變化的可能關系圖，并寫出相應的條件．（以沿斜面向下為正方向）

Answer 1

分析 （1）由感應電動勢公式E=BLv和閉合電路歐姆定律求出感應電流隨時間變化的表達式，再進行分析．
（2）通過棒PQ橫截面的電量q=$\overline{I}$t，由于電流均勻增大，平均電流等于初、末電流的平均值．根據(jù)能量守恒求導軌機械能的變化量△E．
（3）分三種情況分析：若a≥gsinθ-μgcosθ，則F始終向下，且隨時間均勻增大；②若a≤gsinθ-gcosθ，則F始終向上，且隨時間均勻減�。╰_m時F仍向上或為零）；③若gsinθ-gcosθ＜a＜gsinθ-μgcosθ，則F先向上逐漸減小，后向下逐漸增大．再畫圖．

解答 解：（1）根據(jù)歐姆定律得PQ中的電流為：I=$\frac{BLv}{2R}$=$\frac{BLat}{2R}$
因為$\frac{BLa}{2R}$是常數(shù)，所以I∝t，即電流隨時間均勻增大．
（2）當PQ受到的安培力大于mgcosθ時，PQ會離開斜面，電路不再閉合，回路中會短時無電流．
F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{m}}{2R}$=mgcosθ
即：t_m=$\frac{2mgRcosθ}{{B}^{2}{L}^{2}a}$
通過棒PQ橫截面的電量為：
q=$\overline{I}{t}_{m}$=$\frac{1}{2}×\frac{BLa{t}_{m}}{2R}$•t_m=$\frac{BLa{t}_{m}^{2}}{4R}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rco{s}^{2}θ}{{B}^{3}{L}^{3}a}$
由能量守恒得導軌機械能的變化量為：
△E=$\frac{1}{2}$mv²-mgh=$\frac{1}{2}$mat_m²（a-gsinθ）=$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}co{s}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}a}$（a-gsinθ）
（3）①若a≥gsinθ-μgcosθ，則F始終向下，且隨時間均勻增大；
②若a≤gsinθ-gcosθ，則F始終向上，且隨時間均勻減小（t_m時F仍向上或為零）；
③若gsinθ-gcosθ＜a＜gsinθ-μgcosθ，則F先向上逐漸減小，后向下逐漸增大．
故畫出作用力F隨時間t的可能圖象如圖．

答：（1）證明見上．
（2）在電流隨時間均勻增大的時間內(nèi)棒PQ橫截面內(nèi)通過的電量q是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rco{s}^{2}θ}{{B}^{3}{L}^{3}a}$，導軌機械能的變化量△E是$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}co{s}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}a}$（a-gsinθ）．
（3））①若a≥gsinθ-μgcosθ，則F始終向下，且隨時間均勻增大；②若a≤gsinθ-gcosθ，則F始終向上，且隨時間均勻減�。╰_m時F仍向上或為零）；③若gsinθ-gcosθ＜a＜gsinθ-μgcosθ，則F先向上逐漸減小，后向下逐漸增大．故畫出作用力F隨時間t的可能圖象如圖．

點評 由電磁感應規(guī)律得到感應電流與時間的關系是解題的關鍵，并要正確分析導軌的受力情況，判斷其運動情況．