Question

17．如圖所示，斜面與水平面平滑連接，質(zhì)量分別為m和M的B、C兩物塊靜止的放在水平面上，另一質(zhì)量為m的物塊A由斜面上h高處?kù)o止釋放．在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中B和C物塊恰好只能相撞一次．假設(shè)斜面與水平面均光滑，所有碰撞均為彈性碰撞．求物塊A再次在斜面上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)上升的高度與釋放高度h的比值．

Answer 1

分析 A沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，由此即可求出A與B碰撞前的速度；由于A(yíng)與B的質(zhì)量相等，碰撞是彈性碰撞，所以碰撞的過(guò)程二者交換速度；B與C在光滑的水平面上碰撞的過(guò)程中也是彈性碰撞，水平方向的動(dòng)量守恒，同時(shí)機(jī)械能也守恒，根據(jù)兩個(gè)定律即可求出碰撞后二者的速度．由題在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中B和C物塊恰好只能相撞一次，說(shuō)明碰撞后B與C的速度大小相等，方向相反，由此求出碰撞后的速度．B返回后再次與A碰撞，交換速度，A然后沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，有機(jī)械能守恒即可求出上升的高度．

解答 解：A沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mgh$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2gh}$…①
A與B在光滑水平面上的碰撞是彈性碰撞，所以碰撞的過(guò)程二者交換速度；B與C在光滑的水平面上碰撞的過(guò)程中也是彈性碰撞，水平方向的動(dòng)量守恒，同時(shí)機(jī)械能也守恒，選擇向左為正方向，得：
mv₀=mv₁+Mv₂…②
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$…③
聯(lián)立②③得：${v}_{1}=\frac{m-M}{M+m}{v}_{0}$；${v}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{m+M}$…④
討論：
Ⅰ．若m=M，則B的速度為0，A不可能再上升的斜面上；
Ⅱ．若m＞M，則B的速度為為正，進(jìn)行向左運(yùn)動(dòng)，A不可能再上升的斜面上；
Ⅲ．若m＜M，則B的速度為負(fù)，A才可能再上升的斜面上．
由于B與C碰撞的過(guò)程中只是交換速度，所以最終A從斜面上再次下來(lái)后，與B發(fā)生碰撞，B的速度的方向向左，由題意，B和C物塊恰好只能相撞一次，則說(shuō)明B與C在第一次碰撞后二者的速度大小相等，方向相反，即：
$\frac{m-M}{M+m}{v}_{0}=-\frac{2m{v}_{0}}{m+M}$
所以：M=3m
代入④得：${v}_{1}=-\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$  ⑤
B返回后與A碰撞并交換速度，所以A向斜面上運(yùn)動(dòng)的初速度是$-\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$，向上的最大高度H，則：
mgH=$\frac{1}{2}m•（-\frac{1}{2}\sqrt{2gh}）^{2}$
聯(lián)立解得：H=$\frac{1}{4}h$
答：物塊A再次在斜面上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)上升的高度與釋放高度h的比值是$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查多物體的動(dòng)量守恒，其中A與B在碰撞的過(guò)程中交換速度是快速解答該題的關(guān)鍵．也可以由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能的守恒來(lái)求出，但太麻煩．